Enunciado

Descreva o lugar geométrico dos pontos de E ³ cujas distâncias a π 1 : 2 x - y + 2 z - 6 = 0 são os dobros de suas distâncias a π 2 : x + 2 y - 2 z + 3 = 0 .

Passo 1

Sabemos que a fórmula de distância entre um ponto B = ( e ,   f ,   g ) e um plano π ' :   a x + b y + c z + d = 0 é

d B ,   π ' = a . e + b . f + c . g + d a 2 + b 2 + c ²

No caso do nosso exercício, queremos os pontos P = ( x ,   y ,   z ) em que:

d P ,   π 1 = 2 . d P ,   π 2

Então vamos jogar nossas informações na formulazinha ok?

Passo 2

Queremos:

d P ,   π 1 = 2 . d P ,   π 2

Sabendo que π 1 : 2 x - y + 2 z - 6 = 0 e π 2 : x + 2 y - 2 z + 3 = 0 .

Então

2 . x - 1 . y + 2 . z - 6 2 2 + - 1 2 + 2 ² = 2 1 . x + 2 . y - 2 . z + 3 1 2 + 2 2 + - 2 2

2 . x - 1 . y + 2 . z - 6 5 = 2 1 . x + 2 . y - 2 . z + 3 5

2 x - y + 2 z - 6 = 2 x + 2 y - 2 z + 3

Daí temos dois lugares geométricos, pois estamos lidando com módulos hehe

Vamos calcular primeiro para tudo sem sinal negativo:

2 x - y + 2 z - 6 = 2 ( x + 2 y - 2 z + 3 )

2 x - y + 2 z - 6 = 2 x + 4 y - 4 z + 6

p 1 :   5 y - 6 z + 12 = 0

Agora com sinal negativo:

2 x - y + 2 z - 6 = - 2 ( x + 2 y - 2 z + 3 )

2 x - y + 2 z - 6 = - 2 x - 4 y + 4 z - 6

p 2 :   4 x + 3 y - 2 z = 0

Então, os nossos pontos são todos os pontos pertencentes a p 1 :   5 y - 6 z + 12 = 0 ou p 2 :   4 x + 3 y - 2 z = 0 .

Resposta

Todos os pontos pertencentes a p 1 :   5 y - 6 z + 12 = 0 ou p 2 :   4 x + 3 y - 2 z = 0 .

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