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Determinar a equação reduzida referida ao sistema X O ' Y e o gênero da cônica representada pela equação dada a seguir. Esboçar o gráfico.

4 x 2 + 6 x y - 4 y 2 + 20 x - 20 y - 19 = 0

Passo 1

Precisamos escrever a equação da cônica dada num sistema de coordenadas em que não aparece o termo misto x y . Para isso, consideremos a parte quadrática:

4 x 2 + 6 x y - 4 y 2

Ela pode ser escrita como

x y ⋅ 4 3 3 - 4 ⋅ x y

Vamos estudar a matriz

A = 4 3 3 - 4

Num sistema de coordenadas ( X , Y ) em que A for diagonal, o termo misto desaparecerá! Vamos procurar os autovalores de A :

4 - λ 3 3 - 4 - λ = 0

Assim,

4 - λ - 4 - λ - 9 = 0 ⇒ λ 2 - 16 - 9 = 0

Logo,

λ 2 = 25

Portanto, temos

λ 1 = - 5         e           λ 2 = + 5

Passo 2

Agora que temos os autovalores, vamos procurar os autovetores. Para λ 1 = - 5 :

9 3 3 1 ⋅ a b = 0 0 ⇒ 3 a + b = 0 ⇒ b = - 3 a

Portanto,

u 1 = a , b = a , - 3 a = a ( 1 ,   - 3 )

Para que o vetor seja unitário, a = 1 / 10 :

u 1 = 1 10 ,   - 3 10

Já para λ 2 = 5 :

- 1 3 3 - 9 ⋅ a b = 0 0 ⇒ a - 3 b = 0 ⇒ a = 3 b

Logo,

u 2 = 3 b ,   b = b ( 3 ,   1 )

Com b = 1 / 10 :

u 2 = 3 10 , 1 10

Passo 3

Assim, já temos que

x y ⋅ 4 3 3 - 4 ⋅ x y = X Y ⋅ - 5 0 0 5 ⋅ X Y = Y 2 - 5 X 2

Além disso,

x y = 1 10 3 10 - 3 10 1 10 ⋅ X Y

Portanto,

x = X 10 + 3 Y 10         e         y = - 3 X 10 + Y 10

Desta forma, a equação da cônica pode ser escrita como

Y 2 - 5 X 2 + 20 X 10 + 3 Y 10 - 20 - 3 X 10 + Y 10 - 19 = 0

Logo,

Y 2 - 5 X 2 + 80 X 10 + 40 Y 10 - 19 = 0

Agora precisamos completar quadrados:

- 5 X 2 + 80 X 10 = - 5 X 2 - 16 X 10 + 64 10 - 64 10 = - X - 8 10 2 + 32

Y 2 + 40 Y 10 = Y 2 + 40 Y 10 + 400 10 - 400 10 = Y + 20 10 2 - 40

Portanto,

Y + 20 10 2 - 40 - X - 8 10 2 + 32 - 19 = 0

Logo,

Y + 20 10 2 - X - 8 10 2 = 17

Assim,

Y + 20 10 2 17 - X - 8 10 2 17 = 1

Trata-se de uma hipérbole, cujo gráfico é dado a seguir:

Resposta

Y + 20 10 2 17 - X - 8 10 2 17 = 1

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