Enunciado

Determinar a e b , de modo que os planos

π 1 : a x + b y + 4 z - 1 = 0 e π 2 : 3 x - 5 y - 2 z + 5 = 0

Sejam paralelos.

Passo 1

Em questões de planos paralelos, o procedimento é igualar a razão de cada uma das coordenadas das normais entre si. Assim, se n 1 → = ( a 1 ,   b 1 ,   c 1 ) e n 2 → = ( a 2 ,   b 2 ,   c 2 )

a 1 a 2 = b 1 b 2 = c 1 c 2

Passo 2

Para acharmos as coordenadas das normais, vamos analisar a equação do plano.

π 1 : a x + b y + 4 z - 1 = 0

Como os escalares que multiplicam x , y e z são, respectivamente, a ,   b e 4 , as coordenadas da normal n 1 → são n 1 → = ( a ,   b ,   4 ) .

Analisando π 2 : 3 x - 5 y - 2 z + 5 = 0 , temos os escalares que multiplicam x , y e z sendo 3 ,   - 5 e - 2 . Assim, as coordenadas da normal n 2 → são n 2 → = 3 ,   - 5 ,   - 2

Passo 3

Vamos aplicar essas coordenadas na igualdade a 1 a 2 = b 1 b 2 = c 1 c 2 . Então, temos:

a 1 a 2 = b 1 b 2 = c 1 c 2

a 3 = b - 5 = 4 - 2

a 3 = b - 5 = - 2

Passo 4

Agora, temos que pegar essas igualadades em pares tal que

a 3 = - 2 e b - 5 = - 2

a 3 = - 2     →       a = - 6

b - 5 = - 2       →     b = 10

Pronto, era isso que a questão pedia.

Resposta

a = - 6 e b = 10

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