Enunciado

Determinar o valor de α para que os pontos A α ,   - 1,5 ,   B 7,2 , 1 ,   C - 1 , - 3 , - 1   e     D ( 1,0 , 3 ) sejam coplanares.

Passo 1

E aí tudo joia?

Então, 4 pontos vão ser coplanares se o produto misto entre os vetores A B → ,   A C → ,   A D → for igual a zero.

Pra começar então vamos calcular os três vetores...

A B → = ( 7 - α ,   3 ,   - 4 )

A C → = ( - 1 - α ,   - 2 ,   - 6 )

  A D → = ( 1 - α ,   1 ,   - 2 )

Beleza! Vetores calculados!

Passo 2

Agora que já calculamos os vetores, vamos montar o produto misto:

d e t 7 - α 3 - 4 - 1 - α - 2 - 6 1 - α 1 - 2 = ( 7 - α ) - 2 - 6 1 - 2 - ( 3 )   - 1 - α - 6 1 - α - 2 + ( - 4 )   - 1 - α - 2 1 - α 1

7 - α 4 + 6 - 3 2 + 2 α + 6 - 6 α - 4 - 1 - α + 2 - 2 α

70 - 1 0 α - 24 + 1 2 α - 4 + 12 α

= 14 α + 42

Show! O produto misto então é esse aí que a gente achou!

Passo 3

Como já disse lá em cima, pra os pontos serem coplanares, o produto misto tem que ser igual a zero.

Vamos igualar então e achar logo o valor de α :

14 α + 42 = 0

14 α =   - 42

α =   - 3

Prontinho! Então se α = - 3 , os 4 pontos são coplanares😉

Resposta

α = - 3

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