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Exercícios Resolvidos de Álgebra Linear 3ª Edição - J. L. Boldrini

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear 3ª Edição - J. L. Boldrini - 7.5 - 11

Diz-se que um operador linear T : V → V é idempotente se T 2 = T (isto é, se T ∘ T v = T v para todo v ∈ V ).

  1. Seja T   idempotente. Ache seus autovalores.
  2. Encontre uma matriz A 2 × 2 ≠ 0 tal que T A : R 2 → R 2 seja idempotente.
  3. Mostre que um operador linear idempotente é diagonalizável.

Passo 1

  1. Do nosso estudo, a gente sabe que se λ i é autovalor de T respectivo a v i , λ i n é autovalor de T n respectivo a v i .
  2. Ou seja:

    T v i = T 2 v i ⇒ λ i v i = λ i 2 v i ⇒ λ i 2 - λ i v i = 0

    Como v i ≠ 0 , devemos ter:

    λ i 2 - λ i = 0

    Ou seja, λ i = 0   o u   λ i = 1 .

    Passo 2

  3. A própria matriz identidade:
  4. 1 0 0 1

    Passo 3

  5. Se a matriz idempotente A possui autovalores:
  1. 0 e 1, então seu polinômio mínimo deve ser da forma:
  2. m x = x 2 - x

    Observe então que ele reamente é o polinômio mínimo de A . Logo, ela é diagonalizável.

  3. Se 0 é o único autovalor de A , então:
  4. m x = x

    O que é verdade, já que A = 0 .

  5. Se 1 é o único autovalor de A , então:

m x = x - 1

O que é verdade pois A - I = 0 .

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Resposta

  1. 0   o u   1 ;
  2. Matriz identidade;
  3. Demonstração.

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