Enunciado

Encontre a aproximação de mínimos quadrados de f x = 1 + x no intervalo 0 ,   2 π por

  1. Um polinômio trigonométrico de ordem 2 ou menor.
  2. Um polinômio trigonométrico de ordem n ou menor.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Temos a seguinte função:

f x = 1 + x

A aproximação de mínimos quadrados de f x pelo polinômio trigonométrico de ordem 2 ou menor é dada por:

f x ≈ a 0 2 + a 1 cos ⁡ x + a 2 cos ⁡ 2 x + b 1 sen ⁡ x + b 2 sen ⁡ 2 x

Temos que:

a 0 = 1 π ∫ 0 2 π f x d x

Aplicando ao problema, temos que:

a 0 = 1 π ∫ 0 2 π 1 + x d x

a 0 = 1 π x + x 2 2 0 2 π

a 0 = 1 π 2 π + 2 π 2

a 0 = 2 1 + π

Passo 2

Para as constantes do tipo a k , temos que:

a k = 1 π ∫ 0 2 π f x cos ⁡ k x d x

Aplicando ao problema, temos que:

a k = 1 π ∫ 0 2 π 1 + x cos ⁡ k x d x

Resolvendo a seguinte integral, teremos:

a k = 0

Para as constantes do tipo b k , temos que:

b k = 1 π ∫ 0 2 π f x sen ⁡ k x d x

Aplicando ao problema, temos que:

b k = 1 π ∫ 0 2 π 1 + x sen ⁡ k x d x

Resolvendo a seguinte integral, teremos:

b k = - 2 k

Passo 3

Agora vamos substituir na fórmula. Temos que:

a 1 = a 2 = 0

E:

b 1 = - 2

b 2 = - 1

Portanto:

f x ≈ a 0 2 + a 1 cos ⁡ x + a 2 cos ⁡ 2 x + b 1 sen ⁡ x + b 2 sen ⁡ 2 x

f x ≈ 2 1 + π 2 + - 2 sen ⁡ x - 1 sen ⁡ 2 x

f x ≈ 1 + π - 2 sen ⁡ x - 1 sen ⁡ 2 x

Passo 4

A partir dos valores obtidos para as constantes, podemos dizer que a aproximação dos mínimos quadrados de f x ao longo do intervalo 0 ,   2 π por um polinômio trigonométrico de ordem n ou menor é da forma:

f x ≈ 1 + π - 2 sen ⁡ x + sen ⁡ 2 x 2 + ⋯ + sen ⁡ n x n

Resposta

a )   f x ≈ 1 + π - 2 sen ⁡ x - 1 sen ⁡ 2 x

b )   f x ≈ 1 + π - 2 sen ⁡ x + sen ⁡ 2 x 2 + ⋯ + sen ⁡ n x n

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