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Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Capítulo 15.Exercício - Ex. 3

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desse livro

As equações X = 0,0 , 0 + t α 1,2 , 4 e X = 1,0 , - 2 + t - 1 , - 1 , - 1 , t ∈   R , descrevem os movimentos de duas partículas. Determine o valor de α para que haja colisão. Em que instante ela ocorre?

Passo 1

Bom, a primeira coisa que precisamos encontrar é o valor de α para que haja colisão. Lembrando que a colisão vai acontecer quando as duas partículas atinjirem a mesma posição, no mesmo instante, beleza?

A outro ponto que precisamos encontrar nesse exercício é o instante t que ocorre essa colisão.

Então, bora lá!

Passo 2

O primeiro passo aqui é trocar, na segunda equação, t por s e igualar as expressões de X . Fazendo isso, vamos ter algo com essa carinha aqui

0,0 , 0 + t α 1,2 , 4 = 1,0 , - 2 + s ( - 1 , - 1 , - 1 )

Ou seja,

1   t α = 1 - s , 2   2 t α = - s ,                                 3   4 t α = - 2 - s

Se isolarmos o t na primeira equação ( 1 )

t = 1 - s α

e substituirmos na equação ( 2 ) conseguimos encontrar o valor de s :

2 1 - s α α =   - s   ⇒ s = 2

Como queremos encontrar o valor de α para que haja colisão, precisamos que t   e s sejam guais, pois a colisão vai acontecer quando as duas partículas atinjirem a mesma posição, no mesmo instante t = 2 .

Usando a equação ( 1 ) e t , s = 2 , conseguimos encontrar o valor de α de forma que haja colisão:

α = 1 - s t =   1 - 2 2 =   - 1 2

Resposta

α =   -   1 2

A colisão ocorre no instante t = 2 .

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