Enunciado

Obtenha equações da reta tangente á elipse E : x 2 + 2 y 2 = 3 em P = 1 , - 1 e da reta normal a E em Q = 1,1 .

Passo 1

Para encontrarmos a equação da reta tangente em P vamos escrever a equação da nossa elipse na forma reduzida, então, temos

x 2 + 2 y 2 = 3 → x 2 3 + 2 y 2 3 = 1 →   x 2 3 + y 2 3 2 = 1  

Dessa forma, utilizando a regra prática que nos diz que a reta tangente será dada por

h x p + k y q = 1

Onde h , k é o ponto de tangência. Vamos obter então que nossa reta tangente no ponto P será

x 3 - y 3 2 = 1 → x 3 - 2 y 3 = 1 → x - 2 y = 3

Passo 2

Para encontrarmos a reta normal vamos utilizar a regra prática para encontrar a reta tangente, porém, vamos utilizar o ponto P 1 = ( 1,1 ) . Assim, obteremos a seguinte equação

x 3 + 2 y 3 = 1 → y = - x 2 + 3 2

Sendo assim, como temos que a reta normal é perpendicular à reta tangente vamos ter a seguinte relação entre seus coeficientes angulares

m t ⋅ m n = - 1 → m n = - 1 m t = - 1 - 1 2 = 2

Agora, tendo o ponto de interesse que no caso é Q = ( 1,1 ) e o coeficiente angular podemos equacionar nossa reta normal fazendo

y - y 0 = m n ⋅ x - x 0 → y - 1 = 2 ⋅ x - 1

y = 2 x - 1

Resposta

R e t a   t a n g e n t e :   x - 2 y = 3

R e t a   n o r m a l :   y = 2 x - 1

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