Enunciado

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Prove a parte (a) do Teorema 4.11.3 . [Sugestão: uma reta no plano tem uma equação da forma A x +   B y +   C   =   0 , com A   e B não ambos zeros. Use o método do Exemplo 6 para mostrar que a imagem dessa reta pela multiplicação pela matriz invertível

a b c d

tem a equação A ’ x   +   B ’ y   +   C   =   0 , com

A ’ = d A   -   c B a d   -   b c

e

B ’   = - b A   +   a B a d   -   b c

Em seguida, mostre que A ’ e B ’ não são ambos nulos para concluir que a imagem é uma reta.]

Passo 1

Vamos lá, é um enunciado grande e com muita informação, mas vamos com jeito que chegaremos lá.

Para provar o teorema vamos usar a reta dada: A x +   B y +   C   =   0 , com A   e B não nulos.

E a matriz: S = a b c d

Com determinante, a d - c b ≠ 0 .

Passo 2

Vamos precisar de uma sacada pra nos ajudar, fica assim:

Sendo x ,   y um ponto da reta e ( x ' ,   y ' ) a imagem desse ponto quando multiplicarmos x ,   y pela nossa matriz S , temos o seguinte.

x ' y ' = a b c d ⋅ x y

Agora vamos fazer o caminho inverso e encontrarmos ( x ,   y ) através de ( x ' ,   y ' ) , fica assim.

x y = 1 a d - c b ⋅ a b c d - 1 ⋅ x ' y ' = 1 a d - c b ⋅ d - b - c a ⋅ x ' y '

Organizando fica assim

x y = 1 a d - c b ⋅ d x ' - b y ' - c x ' + a y '

Não podemos esquecer que ( a d - c b ) o determinante da nossa matriz.

Passo 3

Agora vamos substituir o que encontramos na nossa equação da reta A x +   B y +   C   =   0 , assim nós vamos encontrar:

A ⋅ d x ' - b y ' a d - c b + B ⋅ - c x ' + a y ' a d - c b + C = 0  

Vamos multiplicar tudo pelo nosso determinante aí temos:

A ⋅ ( d x ' - b y ' ) + B ⋅ ( - c x ' + a y ' ) + C ⋅ ( a d - c b ) = 0

Agora vamos fazer os produtos e deixar tudo em função de x ' e y ' , assim temos:

x ' ⋅ A d - B c + y ' ⋅ a B - A b + C ⋅ a d - c b = 0

Para facilitar nossa vida vamos chamar A d - B c de A ' , a B - A b de B ’ e C ⋅ a d - c b de C ' , assim nossa equação fica:

A ' x ' +   B ' y ' +   C '   =   0

Passo 4

Agora vamos analisar os termos da nossa equação:

C ' = C ⋅ a d - c b ,   c o m o   n o s s o   d e t e r m i n a n t e   n ã o   p o d e   s e r   0   l o g o   C ' ≠ 0 .

Se A ' = 0 temos que A d - B c = 0 , assim:

B = A d c

O que faz:

B ' = a B - A b = a A d c - A b

Isso nos diz que:

B ' = A ⋅ a d - b c c ,   c o m o   o   d e t e r m i n a n t e   n ã o   p o d e   s e r   0 ,   B ' ≠ 0

Por fim significa que:

A ' e   B ' n ã o   p o d e m   s e r   0   s i m u l t a n e a m e n t e .

a   i m a g e m   d a   n o s s o a   l i n h a   é   u m a   l i n h a   s o b r e   u m a   m u l t i p l i c a ç ã o   p o r   u m a   m a t r i z   i r r e v e r s i v e l  

Assim conseguimos provar o Teorema ( a ) !

Até a próxima! =D

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