Enunciado

Resolva o sistema linear v + 3 w - 2 x = 0 2 u + v - 4 w + 3 x = 0 2 u + 3 v + 2 w - x = 0 - 4 u - 3 v + 5 w - 4 x = 0 por qualquer método.

Passo 1

Podemos resolver esse sistema pelo método da eliminação. Primeiramente, para facilitar, vamos abrir o sistema numa matriz aumentada:

0 2 2 - 4 1 1 3 - 3 3 - 4 2 5 - 2 3 - 1 - 4 0 0 0 0

Passo 2

Para essas operações, utilizaremos o rótulo   L para designar a linha e o operdor:

→ L   q u e   s e r á     a l t e r a d a → O p e r a ç ã o

0 2 2 - 4 1 1 3 - 3 3 - 4 2 5 - 2 3 - 1 - 4 0 0 0 0 → L 1 ↔ L 4 - 4 2 2 0 - 3 1 3 1 5 - 4 2 3 - 4 3 - 1 - 2 0 0 0 0

Passo 3

- 4 2 2 0 - 3 1 3 1 5 - 4 2 3 - 4 3 - 1 - 2 0 0 0 0 → L 1 → - 1 4 L 1 1 2 2 0 3 / 4   1 3 1 - 5 / 4 - 4 2 3 1 3 - 1 - 2 0 0 0 0

1 2 2 0 3 / 4   1 3 1 - 5 / 4 - 4 2 3 1 3 - 1 - 2 0 0 0 0 → L 2 → L 2 - 2 L 1 L 3 → L 3 - 2 L 1   1 0 0 0 3 / 4   - 1 / 2 3 / 2 1 - 5 / 4 - 3 / 2 9 / 2 3 1 1 - 3 - 2 0 0 0 0

Passo 4

1 2 2 0 3 / 4   1 3 1 - 5 / 4 - 4 2 3 1 3 - 1 - 2 0 0 0 0 → L 2 → - 2 L 2 1 0 0 0 3 / 4   1 3 / 2 1 - 5 / 4 3 9 / 2 3 1 - 2 - 3 - 2 0 0 0 0

1 0 0 0 3 / 4   1 3 / 2 1 - 5 / 4 3 9 / 2 3 1 - 2 - 3 - 2 0 0 0 0 → L 3 → L 3 - 3 2 L 2 L 4 → L 4 - L 2   1 0 0 0 3 / 4   1 0 0 - 5 / 4 3 0 0 1 - 2 0 0 0 0 0 0

Passo 5

Agora, vamos transformar a matriz 1 0 0 0 3 / 4   1 0 0 - 5 / 4 3 0 0 1 - 2 0 0 0 0 0 0 num sistema linear e resolvê-lo:

u + 3 4 v - 5 4 w + x = 0 v + 3 w - 2 x = 0

Passo 6

Atribuindo os parâmetros w = s e x = t , substituímos nas equações e resolvemos o sistema:

v = - 3 w + 2 x v = - 3 s + 2 t

u = - 3 4 v + 5 4 w - x u = - 3 4 - 3 s + 2 t + 5 4 s - t u = 14 4 s - 5 2 t

Resposta

A solução do sistema é u , v ,     w ,     x = 14 4 s - 5 2 t ,   - 3 s + 2 t ,   s ,   t .

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Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →