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Seja o operador linear T :   R 3 → R 3 cuja matriz em relação à base canônica é

1 4 2 4 - 5 - 4 2 - 4 1

Exiba uma base ortonormal de autovetores.

Passo 1

Primeiramente devemos calcular os autovalores da matriz. Vamos calcular o determinante:

λ - 1 - 4 - 2 - 4 λ + 5 4 - 2 4 λ - 1 = 0 ⇒ - λ - 3 2 x + 9 = 0

Então ela possui auto-valores λ = 3   e   λ = - 9 .

Passo 2

Para λ = 3 :

1 4 2 4 - 5 - 4 2 - 4 1 x y z = 3 x 3 y 3 z

Que gera o sistema:

x + 4 y + 2 z = 3 x 4 x - 5 y - 4 z = 3 y 2 x - 4 y + z = 3 z

Ou ainda:

- 2 x + 4 y + 2 z = 0 4 x - 8 y - 4 z = 0 2 x - 4 y - 2 z = 0

Vamos escalonar a matriz dos coeficientes:

- 2 4 2 4 - 8 - 4 2 - 4 - 2

l i n h a   2 + 2 l i n h a   1

- 2 4 2 0 0 0 2 - 4 - 2

l i n h a   3 + l i n h a   1

- 2 4 2 0 0 0 0 0 0

Ou seja:

- 2 x + 4 y + 2 z = 0 ⇒ - x + 2 y + z = 0

x = 2 y + z

Então:

2 y + z y z = y 2 1 0 + z 1 0 1

Veja que os dois vetores são LI.

Passo 3

Agora para λ = - 9 :

1 4 2 4 - 5 - 4 2 - 4 1 x y z = - 9 x - 9 y - 9 z

Que gera o sistema:

x + 4 y + 2 z = - 9 x 4 x - 5 y - 4 z = - 9 y 2 x - 4 y + z = - 9 z

Ou ainda:

10 x + 4 y + 2 z = 0 4 x + 4 y - 4 z = 0 2 x - 4 y + 10 z = 0

Vamos escalonar a matriz dos coeficientes:

10 4 2 4 4 - 4 2 - 4 10

l i n h a   3 - ( l i n h a   1 - l i n h a   2 )

10 4 2 4 4 - 4 0 0 0

l i n h a   2 - 2 5 l i n h a   1

10 4 2 0 12 5 - 24 5 0 0 0

5 12 l i n h a   2

10 4 2 0 1 - 2 0 0 0

Logo, temos:

y = 2 z

10 x + 8 z + 2 z = 0 ⇒ x = - z

Do segue que o auto-vetor é:

- z 2 z z = z - 1 2 1

Passo 4

Então temos a base de auto-vetores:

2 1 0 , 1 0 1 , - 1 2 1

Agora, vamos ortogornalizar essa base.

Passo 5

u 1 = ( 2,1 , 0 )

u 2 = 1,0 , 1 - < 1,0 , 1 , 2,1 , 0 > 2,1 , 0 < 2,1 , 0 , 2,1 , 0 >

Ou seja:

u 2 = 1,0 , 1 - 2 5 2,1 , 0 = 1 30 , - 2 15 , 5 6

Além disso:

u 3 = - 1,2 , 1 - < - 1,2 , 1 , 1 5 , - 2 5 ,   1 > 1 5 , - 2 5 , 1 < 1 5 , 2 5 , 1 , 1 5 , 2 5 , 1 > - < - 1,2 , 1 , 2,1 , 0 > 2,1 , 0 < 2,1 , 0 , 2,1 , 0 >

Que resolvendo fica:

u 3 = - 1 6 , 2 3 , 1 6

Passo 6

Agora é só normalizar:

e 1 = 1 5 ( 2,1 , 0 )

e 2 = 1 30 , - 2 5 , 1 6

e 3 = - 1 6 , 2 3 , 1 6

Resposta

e 1 = 1 5 ( 2,1 , 0 )

e 2 = 1 30 , - 2 5 , 1 6

e 3 = - 1 6 , 2 3 , 1 6

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