Enunciado

Seja o triângulo de vértices A 3 ,   4 ,   4 , B 2 ,   - 3 ,   4 e C 6 ,   0 ,   4 . Determinar o ângulo interno ao vértice B . Qual o ângulo externo ao vértice B ?

Passo 1

Então galera, antes de tudo vamos esboçar um triângulo qualquer com vértices A , B e C aqui, se liga:

Por que nosso esboço está dessa forma? Vamos lá! O enunciado quer que encontremos o ângulo interno e o ângulo externo ao vértice B , certo? Sendo assim, chamamos de φ o ângulo interno e de β o ângulo externo. Show! Além disso, em azul desenhamos dois vetores formados a partir do triângulo que ajudarão demais na nossa resolução! Os vetores são:

B C → e B A →

Ou melhor:

B C → = C - B = v →

B A → = A - B = u →

Vamos guardar todas essas informações, belê? Show!

Passo 2

De acordo com o que estudamos no capítulo em questão do Winterle, temos que o produto escalar entre dois vetores é dado da seguinte forma:

u → ∙ v → = u → ∙ v → cos ⁡ θ

No qual cos ⁡ θ é o ângulo entre os dois vetores. No nosso caso temos que o ângulo é φ , então:

u → ∙ v → = u → ∙ v → cos ⁡ φ

Isolando o ângulo:

cos ⁡ φ = u → ∙ v → u → ∙ v →

Encontrando o módulo dos vetores:

u → = A - B = 3 ,   4 ,   4 - 2 ,   - 3 ,   4 = 1 ,   7 ,   0

u → = 1 2 + 7 2 + 0 2 = 50 = 5 2

Para o segundo vetor:

v → = 6 ,   0 ,   4 - 2 ,   - 3 ,   4 = 4 ,   3 ,   0

v → = 4 2 + 3 2 + 0 2 = 25 = 5

Passo 3

Substituindo as informações que encontramos na equação que escrevemos, teremos:

cos ⁡ φ = u → ∙ v → u → ∙ v →

cos ⁡ φ = 1 ,   7 ,   0 ∙ 4 ,   3 ,   0 5 2 . 5 = 4 + 21 + 0 25 2 = 25 25 2

∴ cos ⁡ φ = 2 2

E de acordo com o que estudamos em Trigonometria, qual é o ângulo cujo cosseno resulta em 2 2 ? Espero que tenha acertado; o ângulo é 45 ° . Logo:

φ = 45 °

E esse é o ângulo interno que queríamos encontrar, galera! Ademais, agora que encontramos o ângulo interno, qual seria o ângulo externo? Por geometria, temos que:

φ + β = 180 °

Logo:

β = 180 ° - φ = 180 ° - 45 °

∴ β = 135 °

E estão aí nossos ângulos, pessoal! 😉

Resposta

φ = 45 ° e β = 135 °

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Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →