Enunciado

Sejam B = i → ,   j → ,   k → uma base ortonormal, u → = x ,   y ,   z B ≠ 0 → , α = a n g   u → ,   i → , β = a n g   ( u → ,   j → ) e γ = a n g   u → ,   k → . Cada um dos números cos ⁡ α , cos ⁡ β , cos ⁡ γ chama-se cosseno diretor de u → relativamente a B , e cos ⁡ α , cos ⁡ β , cos ⁡ γ chama-se tripla de cossenos diretores de u → relativamente a B . Mostre que:

a)

cos ⁡ α = x x 2 + y 2 + z 2                         cos ⁡ β = y x 2 + y 2 + z 2                           cos ⁡ γ = z x 2 + y 2 + z 2

b) cos 2 ⁡ α + cos 2 ⁡ β + cos 2 ⁡ γ = 1

c) Os cossenos diretores de u → relativamente a B são as coordenadas do versor de u → na base B .

d) Se cos ⁡ α 1 , cos ⁡ β 1 , cos ⁡ γ 1 e cos ⁡ α 2 , cos ⁡ β 2 , cos ⁡ γ 2 são, respectivamente, as triplas de cossenos diretores de u → 1 e u → 2 relativamente à base B e θ é a medida angular entre u → 1 e u → 2 , então cos ⁡ θ = cos ⁡ α 1 cos ⁡ α 2 + cos ⁡ β 1 cos ⁡ β 2 + cos ⁡ γ 1 cos ⁡ γ 2 .

e) Se F é base formada de vetores unitários (em particular se F é ortonormal), a primeira coluna de coluna de M B F é formada pelos cossenos diretores do primeiro vetor de F relativamente a B .

Passo 1

Esse é um problema que aprenseta o conceito de cosseno diretor. O cosseno diretor é o ângulo que um dado vetor u → = ( x ,   y ,   z ) faz com os vetores unitários i → ,   j → ,   k → . Assim,

cos ⁡ α = u → ⋅ i → u → i → = x ,   y ,   z ⋅ ( 1 ,   0 ,   0 ) x 2 + y 2 + z 2 ⋅ 1 = x x 2 + y 2 + z 2

cos ⁡ β = u → ⋅ j → u → j → = x ,   y ,   z ⋅ ( 0 ,   1 ,   0 ) x 2 + y 2 + z 2 ⋅ 1 = y x 2 + y 2 + z 2

cos ⁡ γ = u → ⋅ k → u → k → = x ,   y ,   z ⋅ ( 0 ,   0 ,   1 ) x 2 + y 2 + z 2 ⋅ 1 = z x 2 + y 2 + z 2

Já provamos o item (a). No item (b), basta usar o resultado que encontramos:

cos 2 ⁡ α + cos 2 ⁡ β + cos 2 ⁡ γ = x 2 x 2 + y 2 + z 2 + y 2 x 2 + y 2 + z 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2

Assim,

cos 2 ⁡ α + cos 2 ⁡ β + cos 2 ⁡ γ = x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 = 1

Passo 2

No item (c) que os cossenos diretores são as coordenadas do versor de u → . Para isso, basta dividir u → pela sua norma:

u → = x 2 + y 2 + z 2 ⇒ u ^ = u → u → = 1 x 2 + y 2 + z 2 ( x , y , z )

Assim,

u ^ = x x 2 + y 2 + z 2 ,   y x 2 + y 2 + z 2 ,   z x 2 + y 2 + z 2 = cos ⁡ α , cos ⁡ β , cos ⁡ γ

Passo 3

No item (d) temos u → 1 = cos ⁡ α 1 , cos ⁡ β 1 , cos ⁡ γ 1 e u → 2 = cos ⁡ α 2 , cos ⁡ β 2 , cos ⁡ γ 2 . Do que vimos no item (b), u → 1 = u → 2 = 1 . Assim,

cos ⁡ θ = u → 1 ⋅ u → 2 u → 1 u → 2 = cos ⁡ α 1 , cos ⁡ β 1 , cos ⁡ γ 1 ⋅ cos ⁡ α 2 , cos ⁡ β 2 , cos ⁡ γ 2 1 ⋅ 1

Portanto,

cos ⁡ θ = cos ⁡ α 1 cos ⁡ α 2 + cos ⁡ β 1 cos ⁡ β 2 + cos ⁡ γ 1 cos ⁡ γ 2

Passo 4

Por fim, no item (e), se F é formada por vetores unitários, as componentes desses vetores na base B serão seus cossenos diretores, de modo que as colunas da matriz de mudança de base M B F será formada por eles!

Resposta

Demonstração.

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