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Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Capítulo 7.Exercício - Ex. 19

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Sejam E = e → 1 ,   e → 2 ,   e → 3 uma base, f → 1 = 2 e → 1 - e → 2 + e → 3 , f → 2 = e → 2 - e → 3 , f → 3 = 3 e → 3 .

a) Mostre que F = f → 1 ,   f → 2 ,   f → 3 é base.

b) Calcule m para que 0 ,   m ,   1 E e 0 ,   1 ,   - 1 F sejam LD.

Passo 1

O primeiro passo é escrever os vetores f → i com as coordenadas na base E :

f → 1 = ( 2 ,   - 1 ,   1 )

f → 2 = 0 ,   1 ,   - 1

f → 3 = ( 0 ,   0 ,   3 )

Para que F seja base, os vetores devem ser LI. Assim, o determinante deve ser diferente de zero:

2 - 1 1 0 1 - 1 0 0 3 = 3 ⋅ 2 - 1 0 1 = 3 ⋅ 2 = 6 ≠ 0

Portanto, os vetores são LI e F é uma base!

Passo 2

No item (b) queremos que u → = 0 ,   m ,   1 E e v → = 0 ,   1 ,   - 1 F sejam LD. Para fazermos isso, primeiro vamos escrever v → na base E :

v → = 0 ,   1 ,   - 1 F = f → 2 - f → 3 = e → 2 - e → 3 - 3 e → 3 = e → 2 - 4 e → 3 = 0 ,   1 ,   - 4 E

Para que eles sejam LD, suas coordenadas devem ser proporcionais:

m 1 = 1 - 4 ⇒ m = - 1 4

Note que as primeiras coordenadas dos dois vetores são nulas, então desconsiderei elas para fazer a conta.

Resposta

m = - 1 4

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