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Sejam E = e → 1 ,   e → 2 ,   e → 3 uma base, f → 1 = e → 1 - e → 2 , f → 2 = m e → 1 + e → 3 , f → 3 = - e → 1 - e → 2 - e → 3 .

a) Para que valores de m a tripla F = f → 1 ,   f → 2 ,   f → 3 é base?

b) Nas condições do item (a), calcule a e b de modo que os vetores u → = 1 ,   1 ,   1 E e v → = 2 ,   a ,   b F sejam LD.

Passo 1

O primeiro passo é escrever os vetores f → i com as coordenadas na base E :

f → 1 = ( 1 ,   - 1 ,   0 )

f → 2 = m ,   0 ,   1

f → 3 = ( - 1 ,   - 1 ,   - 1 )

Assim, o determinante das coordenadas é

D = 1 - 1 0 m 0 1 - 1 - 1 - 1 = 1 + - m + 1 = - m + 2

Para que F = f → 1 ,   f → 2 ,   f → 3 seja base, ele deve ser LI, de modo que o determinante deve ser diferente de zero:

- m + 2 ≠ 0 ⇒ m ≠ 2

Passo 2

No item (b) queremos que u → e v → sejam LD. Para fazermos isso, primeiro vamos escrever v → na base E :

v → = 2 ,   a ,   b F = 2 f → 1 + a   f → 2 + b   f → 3 = 2   e → 1 - e → 2 + a   m e → 1 + e → 3 + b   - e → 1 - e → 2 - e → 3

Assim,

v → = 2 + a m - b e → 1 + - 2 - b e → 2 + a - b e → 3 = 2 + a m - b ,   - 2 - b ,   a - b E

Para que  v → e u → = 1 ,   1 ,   1 E sejam LD, devemos ter que

2 + a m - b 1 = - 2 - b 1 = a - b 1

Somando b em todos os termos da equação:

2 + a m = - 2 = a

Assim, da segunda igualdade tiramos que a = - 2 . Substituindo na primeira:

2 - 2 m = - 2 ⇒ 2 m = 4 ⇒ m = 2

Mas já sabemos que m não pode ser 2 . Assim, não existem a e b tais que u → e   v → sejam LD!

Resposta

m ≠ 2

N ã o   e x i s t e m   a   e   b

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