Enunciado

Sejam B 1 = u 1 ,   u 2 ,   u 3 e B 2 = v 1 ,   v 2 ,   v 3 as bases de R 3 dadas por u 1 = - 3 ,   0 ,   - 3 , u 2 = - 3 ,   2 ,   - 1 , u 3 = 1 ,   6 ,   - 1 , v 1 = - 6 ,   - 6 ,   0 , v 2 = - 2 ,   - 6 ,   4 e v 3 = - 2 ,   - 3 ,   7 .

a) Encontre a matriz de transição P B 1 → B 2 .

b) Seja w = - 5 ,   8 ,   - 5 . Encontre w B 1 e então usa a matriz obtida na parte (a) para calcular w B 2 por multiplicação matricial.

c) Confira seu resultado na parte (b) calculando w B 2 diretamente.

Passo 1

Esse é um problema típico de mudança de base. No item (a), queremos achar a matriz de transição P B 1 → B 2 da base B 1 (base velha) para a base B 2 (base nova). Para isso, usamos o método da equação (14) construindo a matriz expandida:

n o v a     v e l h a ]

Logo,

- 6 - 2 - 2 - 6 - 6 - 3 0 4 7 - 3 - 3 1 0 2 6 - 3 - 1 - 1

Vamos fazer operações de linha para transformar a matriz do lado esquerdo na identidade. Fazendo a primeira linha menos a segunda:

- 6 - 2 - 2 0 4 1 0 4 7 - 3 - 3 1 - 3 - 5 - 5 - 3 - 1 - 1

Agora fazemos a segunda linha menos a terceira:

- 6 - 2 - 2 0 4 1 0 0 - 6 - 3 - 3 1 - 3 - 5 - 5 0 - 4 - 4

Agora multiplicamos a segunda linha por 6 e somamos com a terceira:

- 6 - 2 - 2 0 24 0 0 0 - 6 - 3 - 3 1 - 18 - 34 - 34 0 - 4 - 4 → - 6 - 2 - 2 0 12 0 0 0 6 - 3 - 3 1 - 9 - 17 - 17 0 4 4

Em seguida, multiplicamos a primeira linha por 3 e somamos com a terceira:

- 18 - 6 0 0 12 0 0 0 6 - 9 - 5 7 - 9 - 17 - 17 0 4 4

Agora, multiplicamos a primeira linha por 2 e somamos com a segunda:

- 36 0 0 0 12 0 0 0 6 - 27 - 27 - 3 - 9 - 17 - 17 0 4 4 → 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 / 4 3 / 4 1 / 12 - 3 / 4 - 17 / 12 - 17 / 12 0 2 / 3 2 / 3

Portanto,

P B 1 → B 2 = 3 4 3 4 1 12 - 3 4 - 17 12 - 17 12 0 2 3 2 3

Passo 2

Agora vamos considerar o vetor

w = - 5 ,   8 ,   - 5

Temos que achar as coordenadas desse vetor na base B 1 . Note que:

w = - 5 ,   8 ,   - 5 = - 3 ,   0 ,   - 3 + - 3 ,   2 ,   - 1 + 1 ,   6 ,   - 1 = u 1 + u 2 + u 3 = 1 ,   1 ,   1 B 1

Eu sei que você deve estar imaginando: como ele fez isso tão rápido? Como eu ia pensar nisso? Geralmente, não conseguimos ter essas sacadas de cara e montamos um sistema do tipo

w = a u 1 + b u 2 + c u 2

Se a gente montasse esse sistema e resolvesse, iríamos achar

a = b = c = 1

Mas sempre que eu me deparo com um problema desses, eu faço umas continhas de cabeça somando os vetores e fazendo combinações simples para ver se uma delas dá certo. Caso dê certo, eu fujo do sistema 😊

Com isso, achamos

w B 1 = 1 1 1

Daí, basta usar

w B 2 = P B 1 → B 2 w B 1 = 3 4 3 4 1 12 - 3 4 - 17 12 - 17 12 0 2 3 2 3 1 1 1 = 19 / 12 - 43 / 12 4 / 3

Portanto,

w B 2 = 19 / 12 - 43 / 12 4 / 3

Passo 3

No item (c) só precisamos verificar as contas:

w = 19 12 ,   - 43 12 , 4 3 B 2 = 19 12 v 1 - 43 12 v 2 + 4 3 v 3

Assim,

w = 19 12 - 6 ,   - 6 ,   0 - 43 12 - 2 ,   - 6 ,   4 + 4 3 - 2 ,   - 3 ,   7

Logo,

w = - 19 2 ,   - 19 2 ,   0 + 43 6 , 43 2 ,   - 43 3 + - 8 3 ,   - 4 ,   28 3 = - 5 ,   8 , - 5

Com isso, verificamos que nossas contas estão corretas!

Resposta

P B 1 → B 2 = 3 4 3 4 1 12 - 3 4 - 17 12 - 17 12 0 2 3 2 3

w B 1 = 1 1 1

w B 2 = 19 / 12 - 43 / 12 4 / 3

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Seja a um vetor em R 3 fixado. Decida se a fórmula T v = a × v define um operador linear injetor de R 3 . Explique seu raciocínio.
Em cada parte, determine se a multiplicação por A é uma transformação linear injetora. A = 1 - 2 2 - 4 - 3 6 A = 1 3 5 7 2 - 1 2 4 - 1 3 0 0 A = 4 - 2 1 5 5 3
Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →