Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Capítulo 9.Exercício - Ex. 69

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Sejam, em relação a uma base ortonormal, u → = ( 1 ,   1 ,   - 1 ) / 3 , v → = ( 0 ,   1 ,   1 ) / 2 , w → = ( 2 ,   - 1 ,   1 ) / 6 e a → = ( 3 ,   - 2 ,   - 1 ) . Prove que ( u → ,   v → ,   w → ) é base ortonormal e calcule as coordenadas de a → nessa base.

Passo 1

O primeiro passo nesse problema é verificar se a base F = ( u → ,   v → ,   w → ) é ortonormal. Para isso, vamos ver se os vetores são unitários:

u → = 1 3 1 2 + 1 2 + - 1 2 = 1

v → = 1 2 0 2 + 1 2 + 1 2 = 1

w → = 1 6 2 2 + 1 2 + - 1 2 = 1

Agora vamos ver se eles são ortogonais:

u → ⋅ v → = 1 6 0 + 1 - 1 = 0

u → ⋅ w → = 1 18 2 - 1 - 1 = 0

v → ⋅ w → = 1 9 0 - 1 + 1 = 0

Como os vetores são ortogonais e unitários, a base é ortonormal!

Passo 2

Agora queremos escrever o vetor a → = 3 ,   - 2 ,   - 1 B na base F , onde B = i → ,   j → ,   k → é a base canônica ortonormal. Para isso, vamos construir a matriz M B F com as colunas sendos os vetores de F :

M B F = 1 3 0 2 6 1 3 1 2 - 1 6 - 1 3 1 2 1 6

Sabemos também que

3 - 2 - 1 B = M B F x y z F ⇒ x y z F = M B F - 1 3 - 2 - 1 B

Passo 3

Como as bases são ortonormais, a matriz M B F é ortogonal, de modo que sua inversa é igual sua transposta:

M B F - 1 = M B F T = 1 3 1 3 - 1 3 0 1 2 1 2 2 6 - 1 6 1 6

Portanto,

x y z F = 1 3 1 3 - 1 3 0 1 2 1 2 2 6 - 1 6 1 6 ⋅ 3 - 2 - 1 B = 3 3 - 2 3 + 1 3 0 - 2 2 - 1 2 6 6 + 2 6 - 1 6 = 2 3 - 3 2 7 6

Ou ainda,

a → = 2 3 ,   - 3 2 , 7 6 F

Resposta

a → = 2 3 ,   - 3 2 , 7 6 F

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