Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Capítulo 7.Exercício - Ex. 16

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Sejam O A B C um tetraedro e M o ponto médio de B C . Explique por que O A → ,   O B → ,   O C → é base e determine as coordenadas de   A M → nessa base.

Passo 1

Em um exercício assim, o primeiro passo é visualizar e desenhar o tetraedro:

Justificar porque O A → ,   O B → ,   O C → é base é simples: os três vetores não estão no mesmo plano, de modo que são LI. Três vetores LI sempre formam uma base!

Passo 2

O vetor   A M → pode ser escrito como

A M → = A O → + O C → + C M → = - O A → + O C → + 1 2   C B →

Na última passagem usei que

C M → = 1 2   C B →

Por outro lado,

C B → = C O → + O B → = O B → - O C →

Assim,

A M → = - O A → + O C → + 1 2   O B → - O C → = - O A → + 1 2   O B → + 1 2   O C →

Desta forma, temos que

A M → = - 1 , 1 2 , 1 2

Resposta

A M → = - 1 , 1 2 , 1 2

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