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Exercícios Resolvidos de Álgebra Linear 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - 2.10 - 71

Sejam os vetores v 1 = 1,0 , - 1 ,   v 2 = 1,2 , 1 e   v 3 = ( 0 , - 1,0 ) do I R 3 .

  1. Mostrar que B = v 1 ,   v 2 , v 3 é base do I R 3 .
  2. Escrever e 1 = 1,0 , 0 ,   e 2 = 0,1 , 0 ,   e 3 = ( 0,0 , 1 ) como combinação linear dos vetores da base B.

Passo 1

  1. Vamos verificar que os vetores são LI e que geram o I R 3 ...
  2. a 1,0 , - 1 + b 1,2 , 1 + c 0 , - 1,0 = 0,0 , 0

    a + b = 0 2 b - c = 0 - a + b = 0

    Daí, vemos que:

    a = - b

    c = 2 b

    a = b

    Se a = b = - b ,   então b = 0 . Logo, a = b = c = 0 , que é a solução trivial, então os vetores são LI.

    Passo 2

    Para ser base ainda falta verificar se os vetores geram o I R 3 ...

    a + b = x 2 b - c = y - a + b = z

    Vemos que x = - z é uma condição, e y = 2 z + 2 a - c . Ou seja, o sistema tem solução para quaisquer valores de x ,   y   e   z .

    Logo, o conjunto B é base do I R 3 .

    Passo 3

  3. Pelo item anterior, vemos que podemos escrever o espaço da seguinte forma:

x , y , z = x - z 2 v 1 + x + z 2 v 2 + x - y + z v 3

Sendo assim, podemos escrever:

e 1 = 1,0 , 0 = 1 2 v 1 + 1 2 v 2 + v 3

e 2 = 0,1 , 0 = 0 2 v 1 + 0 2 v 2 - 1 v 3 = - v 3

e 3 = 0,0 , 1 =   - 1 2 v 1 + 1 2 v 2 + v 3

E estão prontas as combinações lineares!

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