Exercícios Resolvidos de Análise de Eventos a partir de Conjuntos

Marcos Nascimento Magalhães e Antonio Carlos Pedroso de Lima, Noções de Probabilidade e Estatística, 6ª ed. São Paulo: Edusp, 2004, 41-02

Sendo A e B dois eventos em um mesmo espaço amostral, “traduza” para a linguagem da Teoria dos Conjuntos, as seguintes situações:

a) Pelo menos um dos eventos ocorre.

b) O evento A ocorre mas B não.

c) Nenhum deles ocorre.

Passo 1

Vamos lá: A e B são eventos ou seja, subconjuntos do meu espaço amostral.

Como o enunciado não informou se eles possuem interseção ou não, vamos considerar que tem. (Note que não tem problema considerar que A ∩ B ≠ ∅ , pois este é o caso mais abrangente.)O diagrama de Venn ficaria assim:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

a) Pelo menos um evento ocorre.

Vamos interpretar essa frase: Se pelo menos um evento ocorre podemos dizer que ou apenas UM evento ocorre (ou A ou B) ou AMBOS ocorrem. Olhe na figura abaixo:

Note que a união desses três subconjuntos é exatamente A ∪ B .

Obs.: É bem comum, ao ler o “pelo menos um evento ocorre” pensar no espaço amostral (conjunto universo) menos o contrário do enunciado. Como assim?

Ele não pediu pelo menos um dos eventos ocorra? O contrário disso, o complementar, é que nenhum evento ocorra concordam?

Escrevendo “nenhum evento ocorra”: A ∪ B C

Então escreveríamos: Ω - A ∪ B C

Passo 3

b) O evento A ocorre mas B não.

Se o evento A ocorre mas o B não, podemos afirmar que neste caso a interseção de A com B ( A ∩ B )   não irá ocorrer.

Na figura, a área preenchida será a desejada:

Essa área pode ser escrita como: A - A ∩ B ou Ω - B - A ∪ B C .

Passo 4

c) Nenhum deles ocorre.

Se nenhum deles ocorre, note que teremos exatamente o oposto da letra (a), ou seja, o complementar da mesma.

Assim, nenhum deles ocorre quando em A ∪ B c .

Resposta

a) A ∪ B ou Ω - A ∪ B C

b )   A - A ∩ B ou Ω - B - A ∪ B C

c) A ∪ B c

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