Exercícios Resolvidos de Análise de Solução de um Sistema Linear

Considere o sistema de equações lineares abaixo. Encontre a(s) condição(ões) sobre a, b e c para que o sistema seja possível. E, neste caso, diga qual o grau de liberdade do sistema.

x + 5 z = a 2 x + y + z = b x + 2 y - 13 z = c

Passo 1

Vamos transformar esse sistema em uma matriz aumentada e então escalonar para ficar fácil de ver as relações entre a, b e c.

Passo (i): L 2 ← L 2 + ( - 2 ) L 1 e L 3 ← L 3 + ( - 1 ) L 1

Passo (ii): L 3 ← L 3 + ( - 2 ) L 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora note que na última linha temos todos os coeficientes iguais a zero.

Para que isso seja possível, o lado direito também deve ser zero.

Então:

c - a - 2 b + 4 a = 0

c + 3 a - 2 b = 0

c = 2 b - 3 a

com a e b números reais.

Portanto essa é a condição para que o sistema seja possível!

Passo 3

O grau de liberdade de um sistema é igual ao número de variáveis livres.

Olhando para a matriz que escalonamos no passo 1, podemos reescrever as duas primeiras linhas como duas equações da forma:

x + 5 z = a

y - 9 z = b - 2 a

Isolando o x na primeira linha, obtemos:

x = a - 5 z

Isolando o y na segunda:

y = b - 2 a + 9 z

Como a e b são números reais, se temos um valor para z, conseguimos achar valores para x e y a partir das equações que acabamos de obter.

O z então é uma variável livre, enquanto x e y são variáveis dependentes.

Logo, o grau de liberdade do sistema é 1.

Resposta

c = 2 b - 3 a

1 grau de liberdade

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