Exercícios Resolvidos de Aplicações da Hidrodinâmica

O ar flui através do tubo da figura abaixo com uma vazão de 1,200   c m 3 / s . Suponha que o ar seja um fluido ideal com densidade de 1,2   k g / m 3 enquanto mercúrio apresenta densidade de 1,3 x 10 4   k g / m 3 .

a Desenhe as linhas de fluxo na figura.

b A pressão no ponto 2 é maior, igual ou menor que no ponto 1 ? E em pontos correspondentes de mesma altura no ramo do lado direito? Justifique.

c Qual é a altura h de mercúrio no ramo direito do tubo em U ? Se usar a equação de Bernoulli, deixe explicito em que pontos você a está aplicando.

Passo 1

a   As linhas de fluxo não se cruzam e são mais espaçadas onde a área é maior e menos espaçada onde a área é menor. Por isso o desenho deve ser algo assim:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b   Os pontos 1 e 2 estão imersos no mesmo fluido, o ar. Então o podemos usar o principio de Stevin e o conceito de pressão hidrostática para nos ajudar a descobrir a pressão em cada ponto.

Como os pontos estão na no mesmo fluido e na mesma vertical. Então a pressão em 2 será a pressão em 1 acrescido da pressão causada pela coluna de ar   H .

A questão é que como a densidade do ar é muito pequena e a coluna de ar também é pequena então a pressão causada por essa coluna de ar será mínima, podendo ser desprezada.

Vamos calcula-la para comprovar isso.

A pressão devido à coluna de ar é:

P = ρ g H = 1,2.9,8 . h . 10 - 2

P = 0,11 . H   P a

As pressões são dadas geralmente na ordem de 10 5   P a , então vemos essa pressão que encontramos é nada perto de 10 5   P a . Por isso podemos dizer que:

P 1 = P 2

Passo 3

Agora os pontos correspondentes no lado direito.

Bem Terminamos de ver que a pressão causada por uma pequena coluna de ar pode ser desconsiderada e por isso a pressão em 1 ' é igual a pressão em 1 * .

Já a pressão em 2 ' será a pressão em 1 *   acrescida da pressão causada pela coluna de mercúrio. Como a densidade de mercúrio é alta 1,3 x 10 4 . Essa pressão não pode ser desconsiderada. E por isso:

P 2 ' = P 1 ' + ρ m . g . h

Assim,

P 2 ' > P 1 '  

Passo 4

c     Em um tubo em U a diferença de altura entre cada lado é causada pela diferença de pressão de cada lado. Por isso a primeira coisa que temos que fazer é descobrir o valor da pressão em cada lado.

Na questão temos a vazão do fluido, área da seção dos canos e queremos a pressão. Então pelo principio da continuidade a vazão não varia e conseguimos relacionar as áreas das seções com as velocidades do fluido. E depois com a equação de Bernoulli conseguimos relacionar as velocidades com as pressões em 1 e 1 ' .

Bem, vamos juntar as informações que o enunciado nos forneceu. Ele nos deu os diâmetros de cada tubo. E a vazão de saída. Então precisamos descobrir as velocidades do fluido em cada tubo 1 .

Para isso vamos usar o principio da continuidade que diz que por conservação de massa sabemos que a vazão não vai mudar.

Q = A 1 . v 1

Q = A 1 ' . v 1 '

A vazão é Q = 1200   c m 3 / s o que equivale. A área no tubo 1 é A 1 = π . 2 2 4 e no tubo 1 ' é A 1 ' = π . 0,4 2 4

Então a velocidade em cada tubo será:

v 1 = Q A 1 = 1200 π 2 2 / 4 = 1200 π = 382   c m / s

v 1 ' = Q A 1 ' = 1200 π 0,4 2 / 4 = 120000 4 π = 9500   c m / s

Vamos passar essa velocidade para m / s :

v 1 = 3,82   m / s

v 1 ' = 95   m / s

Passo 5

Agora que temos a velocidade em 1 e em 1 ' . Podemos usar a equação de Bernoulli para descobrir a relação entre as pressões.

A equação será aplicada ao ponto central no tubo acima do ponto 1 , chamaremos essa ponto de 1 também. E ao ponto central do tubo menor acima do ponto 1 ' e por isso chamaremos esse ponto de 1 ' .

P 1 + 1 2 ρ . v 1 2 + ρ g Z 1 = P 1 ' + 1 2 ρ v 1 ' 2 + ρ g Z 1 '

Como os pontos centrais dos tubos estão na mesma altura Z . Então esse termo se cancela.

Reescrevendo a equação acima deixando as pressões em um lado, temos:

P 1 - P 1 ' = 1 2 ρ v 1 ' 2 - v 1 2

Substituindo os valores da densidade do ar e das velocidade descobrimos que a diferença de pressão entre os pontos é:

P 1 - P 1 ' = 1 2 . 1,2 95 2 - 3,82 2

P 1 - P 1 ' = 0,54 . 10 5   P a

Lembre-se que a velocidade deve estar em m / s , por isso multiplicamos a equação por 10 - 4 .

Como vimos no inicio a diferença de altura h é causada pela diferença de pressão entre os lados. Isso quer dizer que a pressão causada pela coluna h de líquido é igual a diferença de pressão em cada lado do tubo.

P 1 - P 1 ' = ρ g h = 0,54 x 10 5   P a  

0,54 x 10 5   P a = 1,3.10 4 . 9,8 . h

h = 0,54 x 10 5 1,3.10 4 . 9,8 . = 0 , 4 2   m

h = 42   c m

Resposta

a

b P 1 = P 2 e P 2 ' > P 1 '

c   h = 42   c m

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