Exercícios Resolvidos de Aplicações da Hidrodinâmica

UNICAMP-Questão 4P1-2010

Considere um grande reservatório contendo um líquido de massa específica ρ . Suponha que a altura do líquido seja H e que é feito um furo pequeno no reservatório a 3 4 da altura H , conforme mostra a figura. Saindo pelo orifício, o líquido atinge uma distância d 1 da base do reservatório.

a) Calcule essa distância d 1 .

b) Calcule a altura de um segundo furo feito abaixo do primeiro e tal que o alcance do líquido saindo dele seja igual ao do primeiro. Para os seus cálculos, suponha que o nível do reservatório não se altera durante todo o processo.

Passo 1

a)

Vamos aplicar Bernoulli entre a superfície do fluido e o ponto onde há o fluido, usando o nível do chão como o nível zero de referência.

P 0 + ρ g H = P 0 + ρ g 3 4 H + ρ v 2 2

ρ g H 4 = ρ v 2 2

v = g H 2

E essa é a velocidade com que o fluido sai pelo orifício. Agora vamos dar uma lembrada de Física 1( Caso não se lembre, acesse o nosso material de Física 1):

O tempo de queda de um corpo submetido a uma altura h e sujeito à uma gravidade g é:

t q = 2 h g

Como h = 3 4 H :

t q = 3 H 2 g

Então a distância d 1 será:

d 1 = v . t q = g H 2 . 3 H 2 g = H . 3 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

Vamos chamar de x a distância da superfície até o ponto que queremos achar. Logo, a altura que a gente procura vai ser h = H - x . Aplicando Bernoulli entre o ponto do furo e a superfície:

P 0 + ρ g H = P 0 + ρ g H - x + ρ v 2 2

v = 2 g x

O tempo de queda do fluido será:

t q = 2 h g = 2 H - x g

Logo:

d = v t q = 2 g x . 2 H - x g = 2 x H - x

Comparando esse resultado com d 1 :

2 x H - x = H . 3 2

4 x H - x = H 2 . 3 4

- 16 x 2 + 16 x H = 3 H 2

16 x 2 - 16 x H + 3 H 2 = 0

Resolvendo essa equação, encontramos:

x = 3 4 H   e   x = H 4

O caso x = H 4 corresponde ao caso do enunciado, pois ai a altura fica: h = H - x = 3 4 H . Então a gente deve usar x = 3 4 H :

h 2 = H - x = H 4

Pronto (:.

Resposta

a)

H . 3 2

b)

H 4

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