Exercícios Resolvidos de Aproximação de Integral com Polinômio de Taylor

( b ) Avalie 0 1 sen ( x 4 ) d x com erro inferior a 1 2 12 .

Passo 1

Como essa integral é chatinha de aproximar diretamente com polinômio de Taylor e TFC por conta das derivadas, vamos aproximar o integrando por um polinômio:

f x = sen ( x 4 )

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Passo 2

Para facilitar nossa vida, substituímos u e usamos o polinômio com essa variável:

u = x 4 f u = sen ( u )

Passo 3

Queremos um erro que seja menor que 1 2 12 . O erro para o polinômio é, na ordem n :

E u = f n + 1 c u n + 1 n + 1 ! E x = f n + 1 c x 4 ( n + 1 ) n + 1 !

Como estamos aproximando uma integral, o erro dela será: 0 1 f n + 1 c x 4 n + 1 n + 1 ! d x = f n + 1 c n + 1 ! 0 1 x 4 n + 1 d x = f n + 1 c 4 n + 5 n + 1 ! x 4 n + 5 ) 0 1

= f n + 1 c 4 n + 5 n + 1 !

Onde c está entre o ponto central do polinômio e até onde x vai nos nossos cálculos que será x = 1 pelo limite da integral.

0 < c < 1

Passo 4

A questão quer um resultado bem preciso, então vamos para sexta ordem logo:

P 2 u = f 0 + f ' 0 u + f ' ' 0 2 u 2 + f ' ' ' 0 6 u 3 + f 4 0 24 u 4 + f 5 0 120 u 5 + f 6 0 7 20 u 5

Sendo:

f ' u = sen u ' = cos ( u )

f ' 0 = cos 0 = 1

f ' ' u = cos ( u ) ' = - sin ( u )

f ' ' 0 = 0

f ' ' ' u = - cos u

f ' ' ' 0 = - 1

f 4 u = sen u

f 4 0 = 0

f 5 u = cos u

f 5 0 = 1

f 6 u = - sen u

f 6 0 = 0

Vai ficar:

P 2 u = 0 + u - 1 6 u 3 + 1 120 u 5

Passando para x e substituindo na integral:

0 1 x 4 - 1 6 x 12 + 1 120 x 20 d x = x 5 5 - 1 78 x 13 + 1 2520 x 21 0 1 = 1 5 - 1 78 + 1 2520 = 0,187576313

Passo 5

Falta garantir que está tudo dentro do erro. O erro, para ordem 6 :

E i n t e g r a l = f n + 1 c 4 n + 5 n + 1 ! = f 7 c 29 7 !

A sétima derivada será:

f 7 u = - sen u ' = - cos u

Logo:

f 7 c = - c o s ( u )

O maior valor para o cosseno entre 0 e 1 é cos 0 = 1 , assim. Tomamos esse valor:

E i n t e g r a l 1 146160 < 1 2 12 = 1 4096

Agora é só felicidade. Ah, ignoramos o sinal da derivada ali porque o erro pode ser para mais ou para menos, então o sinal não importa.

Resposta

0 1 sen ( x 4 ) d x 0,187576313

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