Exercícios Resolvidos de Aproximação Linear da Função Inversa

UFF, Cálculo IIB, Listas GMA - Lista 11, Questão 5

Seja F x , y , z = x - y 2 , y - z 2 , z - x 2

  1. Mostre que F admite inversa numa funzinhança de qualquer x , y , z R 3 tal que 8 x y z 1
  2. Verifique que F 1,0 , 1 = 1 , - 1,0 , calcule F - 1 ' 1 , - 1,0 e obtenha a função afim que melhor aproxima f - 1 na vizinhança de   1 , - 1,0 .

OBS: A questão tem um pequeno erro, quando fizermos F 1,0 , 1 vamos ver que o que está no enunciado na lista está errado, aqui eu corrigi para deixar certinho.

Passo 1

a )

Para verificar se a função é inversível temos que achar o jacobiano dessa função. Para isso primeiro identificamos quem são f 1 , f 2 e f 3 , nesse caso porque temos R 2 .

f 1 = x - y 2

f 2 = y - z 2

f 3 = z - x 2

Agora vamos ter

J = f 1 x f 1 y f 1 z f 2 x f 2 y f 2 z f 3 x f 3 y f 3 z = 1 - 2 y 0 0 1 - 2 z - 2 x 0 1

Já temos o jacobiano em um ponto qualquer

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para ela ser inversível o determinante desse jacobiano deve ser diferente de 0

D e t J x , y , z = - 8 x y z + 1 0

8 x y z 1

Logo a função é inversível fora a restrição que ele deu no enunciado

Passo 3

b )

Como as funções f 1 , f 2 e f 3 são deriváveis e o determinante do jacobiano é diferente de 0 podemos aplicar o teorema da função inversa. Lembrando que nesse caso

X 0 = 1,0 , 1

Vamos verificar o que ele disse, para isso devemos achar F 1,0 , 1

Y 0 = F 1,0 , 1 = 1 - 0 2 , 0 - 1 2 , 1 - 1 2 = 1 , - 1,0

Beleza deu igual ao que ele pediu do enunciado.

Teremos

F - 1 1 , - 1,0 ' = F ' 1,0 , 1 - 1

F - 1 1 , - 1,0 ' = 1 - 2.0 0 0 1 - 2.1 - 2.1 0 1 - 1 = 1 0 0 0 1 - 2 - 2 0 1 - 1

Usando a álgebra linear vamos ter

F - 1 1 , - 1,0 ' = 1 0 0 0 1 - 2 - 2 0 1 - 1 = 1 0 0 4 1 2 2 0 1

Passo 4

Para acharmos essa função que melhor aproxima temos que usar uma fórmula bem de boa, sabemos da geometria analítica que

Y - Y 0 = F ' X 0 X - X 0

Sabendo que f ' X 0 é a matriz jacobiana e que X   e   Y são vetores podemos pensar em álgebra linear e continuar com essa notação.

Essa função X é o que queremos, vamos dar uma manipulada

Y - Y 0 = F ' X 0 X - X 0

F ' X 0 - 1 Y - Y 0 = X - X 0

X = X 0 + F ' X 0 - 1 Y - Y 0

Essa fórmula é bem estranha, mas infelizmente temos que decorar usando esse mesmo passo a passo que temos, coloca na cabeça que sempre que ele pediu uma aproximação da função inversa em Y 0 é dada por essa fórmula.

Temos também que escrever as variáveis diferentes de x , y e z , normalmente usamos u , v e w

Vamos ver como fica essa parada

f - 1 = 1 0 0 4 1 2 2 0 1 u - 1 v - - 1 w - 0 + 1 0 1

f - 1 = 1 0 0 4 1 2 2 0 1 u - 1 v + 1 w + 1 0 1

f - 1 = u - 1 4 u - 4 + v + 1 + 2 w 2 u - 2 + w + 1 0 1

f - 1 = u 4 u + v + 2 w - 3 2 u + w - 1

Resposta

F - 1 1 , - 1,0 ' = 1 0 0 4 1 2 2 0 1

E

f - 1 u 4 u + v + 2 w - 3 2 u + w - 1

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