Exercícios Resolvidos de Aproximação Linear

Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis, Cálculo – Volume I, 8ª ed. Porto Alegre: ARTMED EDITORA S.A, 2005, pg 230 exercício 4 a

Encontre a aproximação linear local da função f x = 1 x em a = 4 e use-a para aproximar 1 3,9 e 1 4,1 .

Passo 1

Aqui ele quer a aproximação linear daquela função em torno daquele valor de a que ele deu.

Então a primeira parte, que é achar essa aproximação é bem de boa, lembra da fórmula da aproximação linear? Ela vai ser:

f x f a + f ' a x - a

A primeira coisa a fazer é achar a derivada de f :

f ' x = 1 x ' = x - 1 / 2 ' = - 1 2 x - 3 / 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora que temos a derivada, vamos jogar na fórmula da nossa aproximação linear, lembrando que a = 4 , a nossa aproximação linear vai ficar:

f x f 4 + f ' 4 x - 4

f x 1 4 - 1 2 4 - 3 / 2 x - 4

f x 1 2 - 1 2 2 - 3 x - 4

f x 1 2 - 1 16 x - 4

f x 1 2 - x 16 + 4 16

f x 3 4 - x 16

E essa é nossa aproximação linear. =D

Passo 3

Vamos agora estimar os valores que ele quer usando essa aproximação linear.

Começando com 1 3,9 , a nossa função é 1 x , assim para esse valor que ele pediu vamos ter

1 3,9 = 1 x

x = 3,9

Então vamos ter:

1 3,9 = f 3,9 3 4 - 3,9 16

1 3,9 12 - 3,9 16

1 3,9 8,1 16

1 3,9 0,50625

Passo 4

Vamos agora para o outro valor que ele pediu, 1 4,1 , a nossa função é 1 x , assim para esse valor que ele pediu vamos ter

1 4,1 = 1 x

x = 4,1

Então vamos ter

1 4,1 = f 4,1 3 4 - 4,1 16

1 4,1 12 - 4,1 16

1 4,1 7,9 16

1 4,1 0,49375

Resposta

1 x = f x 3 4 - x 16

1 3,9 0,50625

1 4,1 0,49375

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