Exercícios Resolvidos de Área com Integral imprópria

UFRJ - Cálculo 1 - P2 2013.2 - 4

Considere as funções:

f x = 1 - x 2 ,       x 0 e - x ,       x > 0

g x = 3 x 2 ,       x 0 0 ,       x > 0

E seja R a região ilimitada definida por R = x , y R 2 ; g x y f x .

  1. Faça um esboço de R
  2. Calcule a área de R

Passo 1

Para o x 0 temos que as duas funções vão encontrar em:

1 - x 2 = 3 x 2 x 2 = 1 4

x = - 1 2

Já para x > 0 elas não encontram, pois e - x 0 .

Como todas essas funções são conhecidas, esboçamos:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Temos que separar a integral em duas regiões:

A = - 1 / 2 0 1 - 4 x 2 d x + 0 e - x d x

Resolvendo, podemos integrar termo à termo:

- 1 2 0 1 - 4 x 2 d x = x - 4 x 3 3 - 1 2 0

Substituindo os valores:

- 1 2 0 1 - 4 x 2 d x = 1 2 - 1 6 = 1 3

Passo 3

Já a outra:

0 e - x d x = lim b 0 b e - x d x

lim b 1 - e - b = 1

Segue que área é a soma desses dois resultados:

A = 1 3 + 1

Resposta

A = 4 3

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