Exercícios Resolvidos de Área com Integral imprópria

Área entre Curvas

Considere a região R dada por

R = x , y ∈ R x ≥ 0   e   0 ≤ y ≤ x 2 e - x }

a Determine, se possível, a área de R .

b Discuta a convergência da integral

∫ 0 ∞ x 2 e - x sen 6 ⁡ x d x .

Passo 1

a Para resolver a maioria das questões nós começamos esboçando o gráfico dado para então calcular a área gerada por ele. Acontece que nessa questão isso não é necessário, uma vez que basta sabermos algumas características da região para já saber como ficará a nossa integral.

Vamos pensar: trabalhamos numa região onde x ≥ 0 e que y fica entre y = 0 e y = x 2 e - x . Acontece que essa curva, o x 2 e - x será sempre positivo, já que é produto de duas funções positivas para qualquer x . Com isso, a gente sabe que a área será a integração dessa curva de 0 até o limite máximo que x assume. Ué, mas x não está limitado na região. Bom, isso só pode significar uma coisa: o limite de integração superior é + ∞ .

Assim, a conclusão é essa função aqui:

A = ∫ 0 ∞ x 2 e - x d x

Vamos fazer esse cara pela integração por partes.

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Passo 2

Vamos chamar pelo LIATE o termo algébrico (polinômio) de u e o resto de d v .

u = x 2 → d u = 2 x d x

d v = e - x d x → v = - e - x

A = ∫ 0 ∞ x 2 e - x d x = ( x 2 - e x ) [ ∞ 0 - ∫ 0 ∞ 2 x - e - x d x

A = ∫ 0 ∞ x 2 e - x d x = ( - x 2 e - x ) [ ∞ 0 + ∫ 0 ∞ 2 x e - x d x

Vamos resolver essa outra integral para depois voltar para cá.

Passo 3

Caímos em outra integral com polinômio e exponencial, novamente vamos usar integração por partes e novamente usamos o LIATE com o 2 x sendo o novo u

u = 2 x → d u = 2 d x

d v = e - x d x → v = - e - x

∫ 0 ∞ 2 x e - x d x = ( 2 x - e - x ) [ ∞ 0 - ∫ 0 ∞ 2 - e - x d x

∫ 0 ∞ 2 x e - x d x = ( - 2 x e - x ) [ ∞ 0 + ∫ 0 ∞ 2 e - x d x

= - 2 x e - x - 2 e - x [ ∞ 0

Vamos voltar à expressão inicial e substituir essa integral:

A = ∫ 0 ∞ x 2 e - x d x = ( - x 2 e - x ) [ ∞ 0 + ∫ 0 ∞ 2 x e - x d x

A = ( - x 2 e - x - 2 x e - x - 2 e - x ) [ ∞ 0

Passo 4

Para substituir os limites a gente precisa tomar cuidado, já que essa é uma integral imprópria:

- x 2 + 2 x + 2 e x [ ∞ 0 = lim a → ∞ ⁡ - x 2 + 2 x + 2 e x [ a 0

= lim a → ∞ ⁡ - a 2 + 2 a + 2 e a - - 0 2 + 2 0 + 2 e 0

= lim a → ∞ ⁡ - a 2 + 2 a + 2 e a + 2 1

= 2 - lim a → ∞ ⁡ a 2 + 2 a + 2 e a

Esse termo do limite que sobrou gera indeterminação do tipo ∞ / ∞ , então podemos usar L’Hospital até que essa indeterminação não seja mais gerada:

lim a → ∞ ⁡ a 2 + 2 a + 2 e a → L ' H lim a → ∞ ⁡ 2 a + 2 e a = ∞ ∞

lim a → ∞ ⁡ 2 a + 2 e a → L ' H lim a → ∞ ⁡ 2 e a = 2 ∞

= 0

Portanto,

A = 2 - lim a → ∞ ⁡ a 2 + 2 a + 2 e a = 2 - 0

= 2   u . a .

Passo 5

b Olha para essa integral que foi pedida:

∫ 0 ∞ x 2 e - x sen 6 ⁡ x d x

O cara pergunta se essa integral aí vai convergir. Bom, a função que ele está integrando é basicamente a mesma da qual calculamos a área, com o detalhe desse sen 6 ⁡ x . Como a gente viu, para esses mesmo limites de integração, a integral convergiu antes. Ora, como sen 6 ⁡ x por definição será sempre menor ou igual a 1 , a gente conclui que:

x 2 e - x ≥ x 2 e - x sen 6 ⁡ x

Com isso, pelo teorema da comparação, vemos que a integral do item b também vai convergir!

Resposta

a   A = 2   u . a .

b   A   i n t e g r a l   c o n v e r g e .

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