Exercícios Resolvidos de Área com Integral imprópria

UNICAMP - Cálculo 1 - Exame 2012 Diurno - 2

Determine a área abaixo da função

f x = 1 x 2 - 16

No intervalo 4 ≤ x ≤ 5

Passo 1

Para essa não é necessário nem fazer o esboço. Como raiz quadrada sempre gera um número positivo, então f x ≥ 0 a área formada será a simples integral da função de x = 4 até x = 5 .

A = ∫ 4 5 1 x 2 - 16 d x

Só tem um detalhe. x = 4 não está definido no domínio dessa função, então tratamos de uma integral imprópria. Vou fazer a integral para um c qualquer e depois calcular o limite quando c → 4 :

A = ∫ c 5 1 x 2 - 16 d x

Esse termo aí lembra a integral por substituição trigonométrica. Para esse formato x 2 - a 2 a substituição deve ser x = a sec ⁡ θ . Vamos calcular a fórmula da integral e depois desfazemos a substituição e substituímos os limites de integração originais.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Resolvendo pela substituição trigonométrica:

x = a sec ⁡ θ = 4 sec ⁡ θ → d x = 4 sec ⁡ θ tg ⁡ θ d θ

∫ 1 x 2 - 16 d x = ∫ 4 sec ⁡ θ tg ⁡ θ d θ 4 sec ⁡ θ 2 - 16

= ∫ 4 sec ⁡ θ tg ⁡ θ d θ 16 tg 2 ⁡ θ = ∫ 4 sec ⁡ θ tg ⁡ θ d θ 4 tg ⁡ θ

= ∫ sec ⁡ θ d θ = ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ

Passo 3

Como originalmente, x = 4 sec ⁡ θ e sabemos que tg ⁡ θ = 16 sec 2 ⁡ θ - 16 4 = x 2 - 16 4 .

Assim, a função achada é essa aqui:

ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ = ln ⁡ x 4 + x 2 - 16 4 [ 5 a

= ln ⁡ 5 4 + 25 - 16 4 - ln ⁡ a 4 + a 2 - 16 4

Agora calculando o limite de a → 4 :

lim a → 4 ⁡ ln ⁡ 5 4 + 3 4 - ln ⁡ a 4 + a 2 - 16 4

= ln ⁡ 2 - ln ⁡ 4 4 + 4 2 - 16 4

= ln ⁡ 2 - ln ⁡ 1

= ln ⁡ 2

E essa é nossa área.

Resposta

A = ln ⁡ 2   u . a .

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