Exercícios Resolvidos de Área com Integral imprópria

PUCRIO, Cálculo B - MAT1158, G3 - 2018.2, Questão Q01

Q01) Seja f : 1 , + ∞ → I R a função definida por f x = 2 x - 1 x 2 - 1 , cujo gráfico está esboçado abaixo:

Considere a seguinte região plana:

R = x , y ∈ I R 2   x ≥ 2   ,   0 ≤ y ≤ f x

Sabendo que as retas x = 1 e y = 0 são assíntotas do gráfico de f , faça o que se pede

  1. Escreva a área da região R como uma integral na variável x . Neste item não é necessário calcular a integral
  2. Calcule a área da região R e conclua que ela é infinita

Passo 1

Vamo que vamo. Analisando direitinho as condições que definem a região R , vemos que:

0 ≤ y ≤ f x

x ≥ 2  

E olha, na primeira linha, ta dizendo que a região parte do eixo x ( y = 0 ) e vai até a curva. Ou seja, a área que queremos é então a área abaixo da curva desenhada, beleza? Vamos ter:

A = ∫ a b f x d x = ∫ a b 2 x - 1 x 2 - 1 d x

Falta só uma coisinha: os limites de integração. Olha bem a segunda linha. Opa, x ≥ 2 ? Temos ai então uma integral imprópria porque não tem limite superior de integração! A área vai ser:

A = ∫ 2 + ∞ 2 x - 1 x 2 - 1 d x

Agora é só calcular!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pra calcular essa área, primeiro vamos lembrar o seguinte: essa forma de escrever está errada! Pro professor não ficar bravo, é sempre bom reescrever na prova a forma certa:

A = ∫ 2 + ∞ 2 x - 1 x 2 - 1 d x = lim c → + ∞ ⁡ ∫ 2 c 2 x - 1 x 2 - 1 d x

Agora temos três etapas:

  • Integrar de forma indefinida
  • Aplicar os limites de integração
  • Aplicar o limite c → + ∞

Vamos por a mão na massa então! Pra primeira etapa, uma boa ideia é olhar bem pro interior da integral: é um polinômio dividido por outro né? E o do denominaor é uma diferença de quadrados! Não sei vocês mas isso me cheira a resolução por frações parciais. Abrindo o produto notável, temos:

∫ 2 x - 1 x 2 - 1   d x = ∫ 2 x - 1 x + 1 x - 1   d x = ∫ A x + 1 + B x - 1   d x = ∫ A x + 1   d x + ∫ B x - 1   d x

Das igualdades acima, vou pegar só a segunda e a última agora, mas comparar só o que ta dentro da integral. Olha só:

2 x - 1 x + 1 x - 1 = A x + 1 + B x - 1

Colocando tudo no mesmo denominador, temos:

2 x - 1 x + 1 x - 1 = A x - 1 x + 1 x - 1 + B x + 1 x + 1 x - 1

Cortando o denominador dos dois lados e aplicando a distributiva, ficamos com:

2 x - 1 = A x - A + B x + B

Agrupando os termos em comum..:

2 x + - 1 = A + B x + B - A

Oras, da então pra montar um sistema de equações! Olha só como fica:

A + B = 2 - A + B = - 1

Somando as duas equações, chegamos a:

2 B = 1

B = 1 2

E sabendo B , chegamos a A = 3 2 . Resumimos a integral à:

∫ 2 x - 1 x 2 - 1   d x = ∫ 3 2 x + 1   d x + ∫ 1 2 x - 1   d x

O que é uma integral com resolução direta em! Vai dar:

∫ 2 x - 1 x 2 - 1   d x = 3 2 ln ⁡ x + 1 + 1 2 ln ⁡ x - 1

Passo 3

Agora que a gente vai começar a falar de limites. Primeiro os limites de integração. Vamos ter:

∫ 2 c 2 x - 1 x 2 - 1 d x = 3 2 ln ⁡ x + 1 + 1 2 ln ⁡ x - 1 2 c

∫ 2 c 2 x - 1 x 2 - 1 d x = 3 2 ln ⁡ c + 1 + 1 2 ln ⁡ c - 1 - 3 2 ln ⁡ 2 + 1 + 1 2 ln ⁡ 2 - 1

∫ 2 c 2 x - 1 x 2 - 1 d x = 3 2 ln ⁡ c + 1 + 1 2 ln ⁡ c - 1 - 3 2 ln ⁡ 3 - 1 2 ln ⁡ 1

∫ 2 c 2 x - 1 x 2 - 1 d x = 3 2 ln ⁡ c + 1 - ln ⁡ 3 + 1 2 ln ⁡ c - 1

O que por fim, dá:

∫ 2 c 2 x - 1 x 2 - 1 d x = 3 2 ln ⁡ c + 1 3 + 1 2 ln ⁡ c - 1

Aplicando o limite agora c → + ∞ , temos:

A = lim c → + ∞ ⁡ ∫ 2 c 2 x - 1 x 2 - 1 d x = lim c → + ∞ ⁡ 3 2 ln ⁡ c + 1 3 + 1 2 ln ⁡ c - 1

A = 3 2 ln ⁡ + ∞ + 1 3 + 1 2 ln ⁡ + ∞ - 1 = 3 2 ln ⁡ + ∞ + 1 2 ln ⁡ + ∞ = + ∞

Concluímos então que a área é infinita ;)

Resposta

  1. A = ∫ 2 + ∞ 2 x - 1 x 2 - 1 d x
  2. A = lim c → + ∞ ⁡ ∫ 2 c 2 x - 1 x 2 - 1 d x = + ∞

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