Exercícios Resolvidos de Área de Superfícies de Revolução

18 . Quando giramos o gráfico de uma função de classe C 1 , y = f x ≥ 0 , a ≤ x ≤ b , em torno do eixo 0 x , obtemos uma superfície de revolução, cuja área é definida pela integral

S = ∫ a b 2 π f x 1 + f ' x 2 d x

(para maiores detalhes, veja o livro do Stewart vol. 1 , seção 8.2 )

Calcule a área da superfície de revolução obtida pela rotação em torno 0 x do gráfico de cada função indicada. Faça um esboço da superfície.

b f x = e x ,   0 ≤ x ≤ 1

Passo 1

Vamos aplicar a fórmula, ok?

Para isso, precisamos de f ' ( x ) :

f x = e x

f ' x = e x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Colocando as informações na integral:

S = ∫ 0 1 2 π e x 1 + e x 2 d x = ∫ 0 1 2 π e x 1 + e 2 x d x = 2 π ∫ 0 1 e x 1 + e 2 x d x

Aqui faremos uma substituição simples, chamando u = e x → d u = e x d x . Quando x = 0 → u = 1 ; x = 1 → u = e

2 π ∫ 0 1 e x 1 + e 2 x d x = 2 π ∫ 1 e 1 + u 2 d u

Agora faremos outra substituição simples, chamando u = tan ⁡ θ → d u = s e c 2 θ d θ . Quando u = 1 → θ = π 4 ; u = e →   θ = a r c t a n ⁡ ( e ) .

2 π ∫ 1 e 1 + u 2 d u = 2 π ∫ π 4 arctan ⁡ e 1 + tan ⁡ θ 2 s e c 2 θ d θ

Lembrando que pela relação fundamental trigonométrica:

s e n 2 θ + c o s 2 θ = 1

tan 2 ⁡ θ + 1 = s e c 2 θ

Substituindo na integral:

2 π ∫ π 4 arctan ⁡ e s e c 2 θ s e c 2 θ d θ = 2 π ∫ π 4 arctan ⁡ e s e c 3 θ d θ

Passo 3

Integral da secante ao cubo...nos encontramos novamente. Essa costuma aparecer de vez em quando nos exercícios, tem que saber calcular essa bandida!

Fazemos o seguinte:

sec 3 ⁡ θ = sec ⁡ θ . sec 2 ⁡ θ = sec ⁡ θ tg 2 ⁡ θ + 1

= sec ⁡ θ . tg 2 ⁡ θ + sec ⁡ θ

Ou seja:

∫ sec 3 ⁡ θ d θ = ∫ sec ⁡ θ . tg 2 ⁡ θ d θ + ∫ sec ⁡ θ d θ

Passo 4

A integral da secante já vimos bastante por aí:

∫ sec ⁡ θ d θ = ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ + C

Mas não vamos nos preocupar com a constante, porque depois vamos passar pra uma integral definida mesmo.

Passo 5

E pra calcular:

∫ sec ⁡ θ . tg 2 ⁡ θ d θ

Fazemos

u = tg ⁡ θ ⇒ d u = sec 2 ⁡ θ d θ d v = sec ⁡ θ . tg ⁡ θ d θ ⇒ v = sec ⁡ θ

Assim:

sec ⁡ θ . tg 2 ⁡ θ d θ = u   d v

Fazendo a integração por partes:

∫ sec ⁡ θ . tg 2 ⁡ θ d θ = tg ⁡ θ . sec ⁡ θ - ∫ sec ⁡ θ . sec 2 ⁡ θ d θ

= tg ⁡ θ . sec ⁡ θ - ∫ sec 3 ⁡ θ d θ

Passo 6

Enfim, juntando tudo:

∫ sec 3 ⁡ θ d θ = tg ⁡ θ . sec ⁡ θ - ∫ sec 3 ⁡ θ d θ + ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ

Daí:

2 ∫ sec 3 ⁡ θ d θ = tg ⁡ θ . sec ⁡ θ + ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ

⇒ ∫ sec 3 ⁡ θ d θ = 1 2 tg ⁡ θ . sec ⁡ θ + ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ

Passo 7

Agora vamos calcular a integral definida:

2 π ∫ π 4 arctan ⁡ e s e c 3 θ d θ = π tg ⁡ θ . sec ⁡ θ + ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ π 4 arctan ⁡ e

= π tg ⁡ a r c t g e sec ⁡ a r c t g e + ln ⁡ sec ⁡ a r c t g e + tg ⁡ a r c t g e - tg ⁡ π 4 sec ⁡ π 4 - ln ⁡ sec ⁡ π 4 + tg ⁡ π 4

Para resolver esse sec ⁡ a r c t g e , teremos que usar um pouco do nosso conhecimento em trigonometria.

a r c t g e = v → tg ⁡ v = e

Estamos interessados em 1 cos ⁡ v . Então vamos tentar descobrir qual o valor do cosseno, ok?

tg ⁡ v = e → sen ⁡ v = e c o s v

Pela relação fundamental da trigonometria:

s e n 2 v + c o s 2 v = 1

e 2 c o s 2 v + c o s 2 v = 1

c o s v = 1 e 2 + 1 → sec ⁡ v = e 2 + 1

Voltando...

π tg ⁡ a r c t g e sec ⁡ a r c t g e + ln ⁡ sec ⁡ a r c t g e + tg ⁡ a r c t g e - tg ⁡ π 4 sec ⁡ π 4 - ln ⁡ sec ⁡ π 4 + tg ⁡ π 4

= π e e 2 + 1 + ln ⁡ e 2 + 1 + e - 2 - ln ⁡ 2 + 1

Resposta

S = π e e 2 + 1 + ln ⁡ e 2 + 1 + e - 2 - ln ⁡ 2 + 1

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