Exercícios Resolvidos de Área de Superfícies

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Enunciado

Questão 2) Calcule a área delimitada pela curva

r → t = t 2 i → + t 3 / 3 - t j → ,           - 3 ≤ t ≤ 3

Conforme a figura a seguir:

Passo 1

A área de uma região plana R sempre é dada por uma integral dupla, bem famosa por sinal:

A R = ∬ R   1   d A

Acontece que nesta forma de calcular a área, precisamos descrever a região R de alguma forma - normalmente é do tipo 1 ou 2 . Mas se você notar, não temos uma região muito legal, então vai ser difícil descrevê-la.

Bem, então o que fazer?

Vamos usar o que temos em mãos, a curva ;)

Passo 2

O fato de ter uma curva já parametrizada delimitando a região indica que vamos ter que utiliza-la, mas como? Bem pelo teorema de Green, temos uma relação entre a integral de linha com a dupla:

∫ C   F → ⋅ d r → = ∬ R   ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y   d A

Onde F → é uma função vetorial com expressão...

F → x ,   y = P ,   Q

Então repare que se fizermos...

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y = 1

Temos a área relacionada com uma integral de linha.

∫ C   F → ⋅ d r → = ∬ R   1   d A = Á r e a

Agora a pergunta que não sequer calcular: Quem vem a ser a função F → ? Bem, qualquer função que satisfaça a condição dessa subtração de derivadas parciais, saca? É sempre interessante pegar:

F → x ,   y = 0 ,   x

Passo 3

Agora, não podemos sair aplicando essa igualdade entre essas integrais assim... De qualquer maneira. Temos sempre que averiguar se estamos nas condições belezinha do Teorema:

1º - C deve ser uma curva fechada delimitando R :

O que já temos!

2º - Ela deve estar orientada positivamente:

O que também já acontece pelo fato dela girar no sentido anti-horário.

3º - A função F → não pode ter singularidades:

Ora, a gente quem escolheu essa função, e a gente não ia pegar uma com fração pra correr o risco do denominador zerar em algum lugar, neh?

Passo 4

Condições satisfeitas, de fato podemos aplicar a igualdade:

A = ∫ C   F → ⋅ d r →

Se vamos buscar a solução dessa integral de linha do modo diretão, nada mais justo que seguirmos o passo a passo maroto de resolução desse tipo de integral:

  1. Parametrizar a curva C que estamos trabalhando
  2. Substituir os termos do campo vetorial F → x ,   y pelos termos da parametrização
  3. Encontrar o termo d r →

Passo 5

Deveríamos aqui parametrizar essa curva, mas para a nossa alegria... Ela já está parametrizada !

r → t = t 2 i → + t 3 / 3 - t j → ,          

Onde t varia...

- 3 ≤ t ≤ 3

Passo 6

Beleza! Agora devemos prosseguir substituindo no campo vetorial F → x ,   y , esse x e y pelos termos da parametrização:

F → x ,   y = 0 ,   x   →

Como na parametrização que temos,   r → t = t 2 , t 3 3 - t , x é a primeira entrada e y é a segunda...

x = t 2

y = t 3 3 - t

Basta substituir no campo vetorial:

F → r → t = 0 , t 2  

Passo 7

Para encontrar o termo d r → , basta sabermos que facilmente o encontramos fazendo:

d r → = r → ' t d t

Como no caso a parametrização foi r → t = t 2 , t 3 3 - t , derivando cada termo do vetor em relação a t ...

r → t = t 2 , t 3 3 - t       →

    r → ' t = 2 t , t 2 - 1

Logo...

d r → = 2 t , t 2 - 1 d t

Passo 8

Voltando para a integral de linha que estamos trabalhando

A R = ∫ C   F → x ,   y d r →

e substituir todos os dados que obtivemos...

∫ C   F → x ,   y d r → = ∫ - 3 3 0 , t 2 ⋅ 2 t , t 2 - 1 d t =

Não se esqueça de realizar esse produto escalar de vetores aí, heim!

∫ - 3 3 t 4 - t 2   d t

Agora basta que resolva a integral e correr para o abraço!

∫ - 3 3 t 4 - t 2   d t = t 5 5 - t 3 3 - 3 3 =

3 5 5 - 3 3 3 - - 3 5 5 - - 3 3 3 =

18 3 5 - 2 3 = 8 3 5

Resposta

8 3 5

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