Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

PUCRIO, Cálculo 1 - MAT1161, G3 - 2010.1, Questão 3

Na figura abaixo, sabendo que f x = cos x , a reta s é a reta horizontal y = 1 e a reta r é tangente ao gráfico da f em x = π 2 , ache a área da região cinza.

Passo 1

Podemos começar encontrando a equação da reta r . Sabemos que ela é tangente à função f x = cos x em x = π 2 . Pela equação da reta tangente à função f ( x ) num ponto ( x 0 , y 0 ) temos:

f ' x 0 = y - y 0 x - x 0

Temos que:

x 0 , y 0 = π 2 , cos π 2

x 0 , y 0 = π 2 , 0

Sabemos também que:

f ' x = - s e n x

Portanto:

f ' π 2 = - s e n π 2 = - 1

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Passo 2

Substituindo tudo:

- 1 = y - 0 x - π 2

Ou seja:

y = π 2 - x

É a equação da reta r .

Agora precisamos saber onde é o ponto de encontro entre r e s para montar nossa integral:

s : y = 1

r : y = π 2 - x

Igualando:

1 = π 2 - x

x = π 2 - 1

Ou seja, é o ponto:

P = π 2 - 1,1

Passo 3

Fazendo a integral, temos que a área é igual à:

I = 0 π 2 - 1 1 - cos x d x + π 2 - 1 π 2 π 2 - x - cos x d x

Simplesmente pelo fato de subtrair a área do cosseno do limitante superior, que são as retas y = 1 e y = π 2 - x . Calculando:

I = x - s e n x 0 π 2 - 1 + π 2 x + x 2 2 - s e n x π 2 - 1 π 2

Plugando os limites de integração:

I 1 = π 2 - 1 - s e n π 2 - 1 - s e n 0

I 2 = π 2 π 2 - π 2 - 1 + 1 2 π 2 2 - π 2 - 1 2 - s e n π 2 - s e n π 2 - 1

Obtemos, finalmente, que:

I 1 = π 2 - 1 - s e n π 2 - 1

I 2 = π 2 + 1 2 1 - π - 1 - s e n π 2 - 1

Passo 4

Substituindo tudo de volta, temos:

I = π 2 - 1 - s e n π 2 - 1 + π 2 + 1 2 1 - π - 1 - s e n π 2 - 1

Arrumando:

I = π 2 - 1 + 1 2 - s e n π 2 - 1 - 1 + s e n π 2 - 1

I = π 2 - 3 2

Resposta

π - 3 2

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