Exercícios Resolvidos de Atrito e Forças não Conservativas

Um vagão de carga com M   =   5000   k g se desloca ao longo de trilhos horizontais com atrito desprezível e velocidade constante. O vagão é parado por uma combinação de duas molas em espiral, como ilustra a figura. As duas molas obedecem à lei de Hooke e suas constantes elásticas valem k 1   =   1600   N / m e k 2   =   3400   N / m . Após a primeira mola ser comprimida por uma distância d   =   30,0 c m , a segunda mola passa a agir juntamente com a primeira para aumentar a intensidade da força aplicada ao vagão. A força do conjunto é mostrada no gráfico abaixo. O vagão é parado a uma distância D   =   60,0 c m após o contato com a primeira mola. Todas as respostas devem ser fornecidas utilizando APENAS considerações sobre o trabalho realizado por uma força e o teorema do trabalho – energia cinética. Todos os cálculos devem ser justificados.

(a) Calcule qual é o trabalho realizado por cada uma das forças que atua sobre o vagão durante sua frenagem.

(b) Calcule qual é o módulo da velocidade do vagão logo antes dele encostar na primeira mola.

(c) Suponha agora que uma força de atrito atue entre os trilhos e o vagão e que o mesmo possua velocidade v   =   0,50   m / s logo antes dele entrar em contato com a primeira mola. Se o vagão para a uma distância D   =   30,0   c m após o contato com a primeira mola, calcule o valor do coeficiente de atrito cinético entre os trilhos e o vagão.

Passo 1

(a)O trabalho realizado pela força peso é dado por:

W p = P → . d → = m . g . d . c o s 90 o = 0

Já pela normal é:

W N = N → . d → = N . d . c o s 90 o = 0

E finalmente, o trabalho da força elástica é:

W e l = ∫ F → e l . d → r = ∫ F e l . d r . c o s 180 o = - ∫ F e l . d r = - á r e a   d o   g r á f i c o

Os valores das forças elásticas em x = 30 c m e x = 60 c m referentes ao gráfico valem:

F e l 0,3 = 1600 . 0,30 = 480 N

F e l 0,6 = 1600 . 0,60 + 3400 . ( 0,30 )

Somando então a área do triângulo até 0,3   m com a do outro triângulo de 0,3   m até 0,6   m :

W e l = - 480 . 0,30 2 + 480 + 1980 . 0,30 2 =   - 72 + 369 → W e l = - 441 J

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pela conservação da energia, temos:

W T o t a l = W P + W N + W e l = K f - K i

Substituindo os valores:

  - 441 = 0 - 5000 . v i 2 2

v i = 441 2500 → v i = 0,420 m s = 4,20 × 10 - 1 m / s

Passo 3

(c) Para este item, basta adicionarmos o trabalho da força de atrito na conservação de energia:

W T o t a l = W P + W N + W e l + W f a t = K f - K i

- 72 + f a t → . d → = 0 - 5000 . 0,5 2 2

Substituindo a equação da força de atrito:

f a t = μ c   .   m   .   g

μ c . m . g . d . c o s 180 o = - 533 → μ c = - 533 - 5000.10 . 0,30

μ c = 0,0368 = 3,68 × 10 - 2

Resposta

a) W P = 0 ; W N = 0 ; W e l =   - 441   J

b) v i = 0,42   m / s

c) μ c = 0,0368

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