Exercícios Resolvidos de Binário, Torçor e Resultante

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 73,2/159

Determine o sistema força-binário em O , que seja equivalente às duas forças aplicadas ao eixo A O B . R é perpendicular a M 0 ? Nesse caso, determine as coordenadas no plano x - z por onde passa resultante do sistema de forças.

Passo 1

Vamos primeiro calcular a resultante das forças. Veja que elas possuem uma característica em comum: ambas fazem um ângulo com o eixo z .

Podemos definir a força de 600 N assim:

F 600 → = 600 s e n 30 ° j ^ + 600 cos ⁡ 30 ° k ^ = 300 j ^ + 519,6 k ^

Podemos definir a força de 800 N assim:

F 800 → = - 800 s e n 45 ° + 800 cos ⁡ 45 ° k ^ = - 565,7 j ^ + 565,7 k ^

Assim, a força resultante é dada por:

R → = F 600 → + F 800 → = 300 j ^ + 519,6 k ^ + - 565,7 j ^ + 565,7 k ^ = - 265.7 j ^ + 1085.3 k ^

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos calcular o momento que cada uma faz em relação ao ponto O :

Perceba que as distâncias são dadas apenas no eixo x :

F 600 → :

r 600 → = - 80 m m i ^ = - 0,08 i ^

Assim:

M 600 → = r 600 → x F 600 → = i ^ j ^ k ^ - 0,08 0 0 0 300 519,6

= i ^ 0 0 300 519,6 - j ^ - 0,08 0 0 519,6 + k ^ - 0,08 0 0 300

= 41,57 j ^ - 24 k ^

F 800 → :

r 800 → = 160 m m i ^ = 0,16 i ^

Assim:

M 800 → r 800 → x F 800 → = i ^ j ^ k ^ 0,16 0 0 0 - 565,7 565,7

= i ^ 0 0 - 565,7 565,7 - j ^ 0,16 0 0 565,7 + k ^ 0,16 0 0 - 565,7

= - 90,5 j ^ - 90,5 k ^

Assim, o momento total em relação ao ponto O :

M o → = M 600 → + M 800 →

M o → = 41,57 j ^ - 24 k ^ - 90,5 j ^ - 90,5 k ^

M o → = - 48,43 j ^ - 114,5 k ^

Pronto, com a força resultante e esse momento, definimos o sistema força-binário equivalente em O .

Passo 3

Sendo:

R → = - 265,7 j ^ + 1085,3 k ^

M o → = - 48,43 j ^ - 114,5 k ^

Vamos ver se os vetores são perpendiculares. Para isso, vamos efetuar o produto escalar:

R → . M o → = - 265.7 j ^ + 1085.3 k ^ . - 48,43 j ^ - 114,5 k ^ = - 111,39 ≠ 0

Como o produto é diferente de zero, eles não são perpendiculares.

Assim, podemos representar a resultante por um conjunto torçor.

Vamos escrever a força resultante na forma:

R → = R → n →

R → = - 265.7 2 + 1085.3 2 = 1117,3

Assim:

R → = 1117,3 . - 265,7 1117,3 i ^ + 1085,3 1117,3 j ^

R → = 1117,3 . ( - 0,238 i ^ + 0,971 j ^ )

Passo 4

Queremos agora achar o ponto P onde a resultante pode ser representada, junto com o seu torçor:

P = x , 0 , z = r p →

Vamos usar, então, a relação:

M o → = M p → + r p → x R →

M p → é o momento do torçor e , portanto, tem a mesma direção eu a força resultante:

M p → = M n → = M ( - 0,238 i ^ + 0,971 j ^ )

Passo 5

Vamos desenvolver r p → x R → :

r p → x R → = i ^ j ^   k ^ x 0 z 0 - 265,7 1085,3

= i ^ 0 z - 265,7 1085,3 - j ^ x z 0 1085,3 - k ^ x 0 0 - 265,7

= 265,7 z i ^ - 1085,3 x j ^ + 265,7 x k ^

Passo 6

Desenvolvendo:

M p → + r p → x R → = ( - 0,238 M i ^ + 0,971 M j ^ ) + ( 265,7 z i ^ - 1085,3 x j ^ + 265,7 x k ^ )

= - 0,238 M + 265,7 z i ^ + 0,971 M - 1085,3 x j ^ + 265,7 x k ^

Lembrando que isso é igual a M o → :

M o → = - 48,43 j ^ - 114,5 k ^

48,43 j ^ - 114,5 k ^ = - 0,238 M + 265,7 z i ^ + 0,971 M - 1085,3 x j ^ + 265,7 x k ^

Igualando termo a termo, vamos chegar nas seguintes equações:

0 = - 0,238 M + 265,7 z

48,3 = 0,971 M - 1085,3 x

- 114,5 = 265,7 x

Da última equação temos:

x = - 114,5 265,7 = - 0,43 m

Jogando na segunda equação:

48,3 = ( 0,971 M - 1085,3 ( - 0,43 ) → M = - 430,87

E na primeira equação:

0 = - 0,238 M + 265,7 z

265,7 z = 0,238 M

z = 0,238 M 265,7 = 0,385 m

Assim:

P = - 0,43 ; 0 ; 0,385 m

Resposta

R → = - 265,7 j ^ + 1085,3 k ^

M o → = - 48,43 j ^ - 114,5 k ^

P = - 0,43 ; 0 ; 0,385 m

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