Exercícios Resolvidos de Binário, Torçor e Resultante

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 77,2/174

Durante uma perfuração, o pequeno dispositivo robótico é submetido a uma força de 800   N no ponto C , como mostrado. Substitua esta força por um sistema força-binário equivalente no ponto O .

Passo 1

Vamos começar a questão escrevendo a força de 800   N em termos de vetores i ^ ,   j ^   e k ^ , ou seja, em componentes x ,   y   e   z :

F → = F → x + F → y + F → k

Primeiro perceba que a componente z é a mais fácil de encontrar. Na figura dá pra ver que a força de 800   N faz um ângulo de 30 ° com o eixo z .

Então, vamos ficar com isso aqui para a componente z :

F → z = 800 cos ⁡ 30 ° k ^

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para achar as componentes x e y , primeiro perceba que a componente no plano horizontal da força é dada por:

F → h = 800 s e n ( 30 ° )

Agora precisamos decompor essa força novamente em relação ao ângulo de 20 ° e, então, conseguiremos as componentes que queríamos:

F → x = - 800 s e n 30 ° cos ⁡ 20 ° i ^

F → y = 800 s e n 30 ° s e n 20 ° j ^

Assim:

F → = - 800 s e n 30 ° cos ⁡ 20 ° i ^ + 800 s e n 30 ° s e n 20 ° j ^ + 800 cos ⁡ 30 ° k ^

F → = - 376 i ^ + 136,8 j ^ + 693 k ^   N

Passo 3

Agora vamos achar o vetor r → O B , ou seja, o vetor distância entre o ponto B e a origem.

Vamos primeiro olhar a distância vertical: Fica claro que ela é dada por:

r → O B Z = 0,25 k ^   m

Pra achar as componentes x e y , basta percebermos que essas são projeções do segmento A B :

r → O B x = 0,3 sen ⁡ 20 ° i ^

r → O B y = 0,3 cos ⁡ 20 ° j ^

Assim:

r → O B = 0,3 s e n 20 ° i ^ + 0,3 cos ⁡ 20 ° j ^ + 0,25 k ^   m

Show de bola? Estamos prontos pra usar:

M → = r → O B × F →

Passo 4

Então:

M → = r → O B × F → = i ^ j ^ k ^ 0,3 s e n ( 20 ° ) 0,3 c o s ⁡ ( 20 ° ) 0,25 - 376 136,8 693

M → = i ^ 0,3 c o s ⁡ ( 20 ° ) 0,25 136,8 693 - j ^ 0,3 s e n 20 ° 0,25 - 376 693 + k ^ 0,3 s e n ( 20 ° ) 0,3 c o s ⁡ ( 20 ° ) - 376 136,8

Efetuando os determinantes:

M → = 161.1 i ^ - 165.1 j ^ + 120 k ^   N ⋅ m

Passo 5

Show de bola! Então podemos dizer que o sistema de forças pode ser representado por um sistema força-binário equivalente dado pelos vetores:

F → = - 376 i ^ + 136,8 j ^ + 693 k ^   N

M → = 161.1 i ^ - 165.1 j ^ + 120 k ^   N ⋅ m

Resposta

F → = - 376 i ^ + 136,8 j ^ + 693 k ^   N

M → = 161.1 i ^ - 165.1 j ^ + 120 k ^   N ⋅ m

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