Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes por Integrais Duplas

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 1, Questão 12

  1. Calcule o Volume do sólido contido no primeiro octante, limitado pelo cone   z = r , pelo cilindro r = 3 sin θ e pelo plano z = 0 .

Passo 1

Cara, eu sei que o exercício está meio louco, mas pensa comigo: ele te deu superfícies em termos de r e θ o que isso pode significar? Sim! As coordenadas polares!

x = r cos θ

y = r sin θ

Não se esqueça da equação da circunferência...

x 2 + y 2 = r 2

e nem do Jacobiano quando estivermos na integral:

J = r

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pow! Precisamos colocar aquelas superfícies do enunciado em termos das coordenas retangulares (em termos de x e y ). Para isso, vamos apenas substituir, veja:

C o n e           T e m   e q u a ç ã o             z = r

logo...

z 2 = r 2

substituindo então obtemos

z 2 = x 2 + y 2

Que de fato é um cone comum representado dessa forma:

Outra superfície que podemos fazer o mesmo é com o cilindro r = 3 sin θ :

r = 3 sin θ               M u l t i p l i c a n d o   p o r     r e m   a m b o s   o s   l a d o s                       r 2 = 3   r sin θ

Substituindo então...

x 2 + y 2 = 3 y

Pow! Essa é a equação do cilindro, mas está difícil de enxergar, neh? Por isso, vamos completar quadrado com ele aqui...

x 2 + y 2 - 3 y = 0

Como y - 3 2 2 = y 2 - 3 y + 9 4 ...

x 2 + y 2 - 3 y + 9 4 - 9 4 = 0                 x 2 + y - 3 2 2 = 9 4

De fato é um cilindro de raio 3 2 deslocado um pouco em y .

Como estamos trabalhando no primeiro quadrante, então o sólido é esse aqui:

Passo 3

Pow! O problema nos pediu um volume de sólido, e a essa altura, podemos calcular um volume utilizando uma... I n t e g r a l   D u p l a   : )

V o l u m e = D   f x ,   y d A

Porém, como estamos trabalhando dentro de um cilindro e os dados já foram dados em coordenadas polares, é muito válido a gente transformar para a integral nessas coordenadas:

Não se esqueça de multiplicar pelo Jacobiano, heim!

V o l u m e = D   f x ,   y d A = D r θ   f ( r , θ ) J d r d θ

Mas veja que para resolver essa integral aí necessitamos de algumas informações:

  • Quem é o f ( r ,   θ ) ?
  • Quem é a região de integração em termos de r e θ D r θ ?

Para ambas as perguntas, vamos encontrar as respostas no esboço do sólido no espaço novamente:

Epa! A função f que vamos integrar é o próprio cone com e q u a ç ã o :

f r ,   θ = z = r

Quanto à outra pergunta... me siga!

Passo 4

Bem, a região em que estamos integrando está na sombra desse sólido:

Logo, em coordenas polares, notamos que

0 r E q u a ç ã o   d o   c i l i n d r o

0 r 3 sin θ

enquanto isso, o ângulo θ ... esse cara aqui, oh:

ele só pode estar indo do 0 até 90   ° afinal de contas estamos apenas trabalhando apenas no primeiro quadrante

0 θ π 2

Passo 5

Montando a integral então...

0 π 2 0 3 sin θ r J d r d θ =

0 π 2 0 3 sin θ r 2 d r d θ

Agora é só calcular essa integral aí normalmente...

0 π 2 0 3 sin θ r 2 d r d θ = 0 π 2 0 3 sin θ r 2 d r d θ

Calculando a integral de dentro...

0 π 2 r 3 3 0 3 sin θ d θ =

0 π 2 3 sin θ 3 3 d θ = 9 0 π 2 sin 3 θ d θ

Bora calcular essa integral? (vamos trabalhar com ela indefinida aqui apenas para não atrapalhar o raciocínio):

sin 3 θ d θ =

Como o coeficiente do seno é impar, podemos separar dessa forma

sin 2 θ sin θ d θ

onde lembrando que sin 2 θ = 1 - cos 2 θ ...

1 - cos 2 θ sin θ d θ =

sin θ d θ + cos 2 θ - sin θ d θ

Essa primeira integral é easy

- cos �� θ + cos 2 θ - sin θ d θ

Quanto a essa segunda, basta fazer uma mudança

cos θ = t                 d t = - sin θ d θ

- cos θ + t 2 d t = - cos θ + t 3 3 =

Onde encontraremos como resultado final...

sin 3 θ d θ = - cos θ + cos θ 3 3 + C

Voltando para a integral

V o l u m e = 9 0 π 2 sin 3 θ d θ = 9 - cos θ + cos θ 3 3 0 π 2 =

substituindo...

9 - cos π 2 + cos π 2 3 3 - - cos 0 + cos 0 3 3 =

9 0 + 0 - - 1 + 1 3 = 9 1 - 1 3 =

6

Resposta

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