Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes por Integrais Duplas

UFPE, Calculo 2, 2º EE - 2016.1, Questão 4

Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do plano 4 x + 6 y - 2 z + 15 = 0 e acima do retângulo R = x , y - 1 x 2 ,   - 1 y 1

Passo 1

Sabemos calcular o volume de um sólido abaixo de qualquer função f x , y , certo? É só integrar essa função.

O problema aqui é que o plano não está escrito como uma função de x e de y ainda, precisamos isolar z , antes!

Olha só como fica

4 x + 6 y - 2 z + 15 = 0

2 z = 4 x + 6 y + 15

z = 2 x + 3 y + 15 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora que isolamos z , vamos montar a integral no intervalo pedido no enunciado, ele diz que

- 1 x 2

- 1 y 1

Então tome cuidado aqui, a ordem que vamos integrar não importa, mas precisamos colocar os limites na posição certinha.

Por exemplo, se você quiser integrar primeiro em x e depois em y (ou seja, d x d y ), os limites das integrais precisam ficar assim

- 1 1 - 1 2 2 x + 3 y + 15 2 d x d y

Se quiser integrar na outra ordem, ou seja d y d x , precisa inverter os limites das integrais também! Assim

- 1 2 - 1 1 2 x + 3 y + 15 2 d y d x

Passo 3

Vamos fazer o primeiro caso aqui

- 1 1 - 1 2 2 x + 3 y + 15 2 d x d y

Integrando em relação a x

- 1 1 2 x 2 2 + 3 x y + 15 x 2 x = - 1 x = 2 d y = - 1 1 x 2 + 3 x y + 15 x 2 x = - 1 x = 2 d y

= - 1 1 4 + 6 y + 15 - 1 - 3 y - 15 2 d y

= - 1 1 19 + 6 y - - 13 2 - 3 y d y

= - 1 1 9 y + 51 2 d y

Integrando em relação a y

9 y 2 2 + 51 2 y y = - 1 y = 1

= 9 2 + 51 2 - 9 2 - 51 2

= 9 2 + 51 2 - 9 2 + 51 2

= 51

Resposta

51

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