Exercícios Resolvidos de Cálculo do Momento de Inércia de Partículas

USP-P3-2014-2 - a,b,c.

Considere um sistema de cinco objetos puntiformes dispostos em um plano de acordo com a figura a seguir. Cada um dos quatro objetos periféricos possui massa igual a m , enquanto que o quinto, localizado na origem do sistema de coordenadas indicado na figura, tem massa 2 m . Eles são unidos por hastes rígidas e de massas desprezíveis.

a ) Calcule o momento de inércia do sistema em relação ao eixo passando pelos objetos 2 e 3 .

b ) Calcule o momento de inércia do sistema em relação ao eixo perpendicular ao plano da figura e passando pela origem.

c ) Calcule o momento de inércia do sistema em relação ao eixo perpendicular ao plano da figura e passando pelo ponto M indicado na figura.

Passo 1

a )

O momento de inércia do sistema pode ser encontrado da seguinte forma:

I = m 1 r 1 2 + m 2 r 2 2 + m 3 r 3 2 + m 4 r 4 2 + m 5 r 5 2

I = m r 1 2 + m r 2 2 + m r 3 2 + m r 4 2 + 2 m r 5 2

Botando m em evidência

I = m r 1 2 + r 2 2 + r 3 2 + r 4 2 + 2 r 5 2

Como o eixo de rotação está passando pelos objetos 2 e 3, temos que as distâncias até o eixo de rotação serão:

r 2 = r 3 = 0

r 1 = r 4 = 2 d

r 5 = d

Logo:

I 23 = m 2 d 2 + 0 + 0 + 2 d 2 + 2 d 2

I 23 = 10 m d 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b )

Temos agora o eixo passando perpendicularmente ao objeto 5. Neste caso, as distâncias dos objetos 1 ao 4 serão os comprimentos das hastes. Então os vetores posições serão agora:

r 1 = r 2 = r 3 = r 4 = d 2

r 5 = 0

I 5 = m 4 d 2 2

I 5 = 8 m d 2

Passo 3

c )

Com o eixo passando pelo ponto M , teremos as seguintes distâncias:

r 1 = r 4 = r 5 = d

Para calcular as distâncias das partículas 2 e 3 ao eixo, podemos atentar para o triângulo azul abaixo:

A distância r 2 (que é igual a r 3 ) é dada pela hipotenusa do triângulo! Logo, temos:

r 2 2 = d 2 + 2 d 2 = 5 d 2 → r 2 = r 3 = 5 d

Continuando, teremos:

I M = m d 2 + 5 d 2 + 5 d 2 + d 2 + 2 d 2 = 14 m d 2

Resposta

a )   I 23 = 10 m d 2

b ) I 5 = 8 m d 2

c ) I M = 14 m d 2

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