Regra de L’Hospital – Indeterminação ∞/∞ e 0/0

Teoria Completa

Olha esse “cara”: lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x

Ele cai numa indeterminação. Dá uma olhada:

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x = lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x lim x → + ∞ ⁡ x = + ∞ + ∞

Nenhum método que vimos tira a indeterminação! E agora? Quem poderá nos defender?

A REGRA DE L’HOSPITAL

Essa regrinha veio para salvar a nossa vida nesse e em diversos casos.

Para aplicar L’Hospital, basta derivar a função no numerador e a função no denominador.

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x → L ' H lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x ' x '  

Derivar numerador e derivar denominador, SEPARADO! Nada de aplicar a REGRA DO QUOCIENTE, ok????

Nosso limite vai ficar:

= lim x → + ∞ ⁡ 1 x 1     = lim x → + ∞ ⁡ 1 x = 1 ∞ = 0

Ok, mas posso aplicar L’Hospital em qualquer limite? NÃÃÃÃÃO!

Para aplicar L’Hospital, é necessário haver uma situação como a do limite que a gente acabou de ver: onde aparece indeterminação ∞ / ∞ ou, então, “ 0 / 0 ”.

Você pode usar quantas vezes for necessário o L’Hospital:

  • Aplicou L’Hospital e caiu indeterminação de novo? Usa L’Hospital de novo.
  • Aplicou L’Hospital e caiu indeterminação de novo? Usa L’Hospital de novo.
  • Aplicou L’Hospital e caiu indeterminação de novo? Usa L’Hospital de novo.
  • Aplicou L’Hospital e caiu indeterminação de novo? Usa L’Hospital de novo.

Deu para entender? Haha

Exercícios agora!

Expandir

Exercício Resolvido #1

CEFET - Cálculo 1 - P3 Romulo (2) 2014.2 - 1b

Utilize a regra de L’Hôpital para calcular os limites indicados abaixo:

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x sen ⁡ x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O primeiro passo, quando queremos aplicar a regra de L’Hôpital, é verificar a existência de uma indeterminação, como 0 / 0 ou ∞ / ∞ :

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x sen ⁡ x ⟹ lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x ⟹ 0 0

Logo, há uma das indeterminações. Então podemos aplicar L’Hôpital sem medo.

Passo 2

Aplicando L’Hôpital, vamos derivar o numerador e o denominador

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x sen ⁡ x = lim x → 0 ⁡ [ 1 - cos ⁡ x ] ' [ sen ⁡ x ] ' = lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x cos ⁡ x = 0 1 = 0

NÃO É PARA USAR A REGRA DO QUOCIENTE MEU FILHO!!!

Resposta

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x sen ⁡ x = 0

Exercício Resolvido #2

UNICAMP - Cálculo 1 - P2 2015 Vespertino Quinta - 2 a

Calcule:

  lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Está sabendo, né? Antes de tudo temos que mostrar a indeterminação no limite e lembre-se: nunca use o sinal de igualdade, apenas setas ou aspas:

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x ⟹ l i m x → + ∞ ln ⁡ x l i m x → + ∞ x ⟹ ∞ ∞

Podemos aplicar L’Hôpital sem temer a infelicidade.

Passo 2

Aplicando L’Hospital, vamos derivar em cima e embaixo no quociente:

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x = lim x → + ∞ ⁡ [ ln ⁡ x ] ' [ x ] '

Sendo:

ln ⁡ x ' = 1 x

x ' = 1 2 x

Substituindo tudo

… = lim x → + ∞ ⁡ 1 x 1 2 x

Vamos inverter essas frações e manipular esse cara

… = lim x → + ∞ ⁡ 1 x 1 2 x = lim x → + ∞ ⁡ 1 x . 2 x = lim x → + ∞ ⁡ 2 x 1 2 x 1 = lim x → + ∞ ⁡ 2 x 1 2 - 1 = lim x → + ∞ ⁡ 2 x - 1 2

… = lim x → + ∞ ⁡ 2 x = " 2 ∞ " = 0

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x = 0

Exercício Resolvido #3

PUC-RJ - Cálculo 1 - P2 2015.1 - 1 c

Calcule:

lim x → ∞ ⁡ x e x ln ⁡ x + 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos verificar se a senhora indeterminação está lá:

lim x → ∞ ⁡ x e x ln ⁡ x + 1 ⟹ l i m x → ∞ x e x lim x → ∞ ln ⁡ x + 1 ⟹ ∞ ⋅ ∞ ln ⁡ ∞ ⟹ ∞ ∞

Então podemos aplicar o titio L’Hôpital.

Passo 2

lim x → ∞ ⁡ x e x ln ⁡ x + 1 = lim x → ∞ ⁡ [ x e x ] ' [ ln ⁡ x + 1 ] '

Para derivar o numerador, usamos a regra do produto:

x e x ' = x ' e x + x e x ' = e x + x e x = e x ( 1 + x )

Para o denominador, usamos a regra da cadeia:

[ ln ⁡ x + 1 ] ' = 1 x + 1 ⋅ x + 1 ' = 1 x + 1

Substituindo tudo:

… = lim x → ∞ ⁡ x e x ' [ ln ⁡ x + 1 ] ' = lim x → ∞ ⁡ e x 1 + x 1 x + 1

Invertendo

… = l i m x → ∞ e x 1 + x ⋅ x + 1 = l i m x → ∞ e x 1 + x 2 = " ∞ ⋅ ∞ " = ∞

Resposta

lim x → ∞ ⁡ x e x ln ⁡ x + 1 = ∞

Exercício Resolvido #4

Elaboração própria

Calcule o limite abaixo. Justifique suas respostas.

lim x → 0 ⁡ e x - e 2 x + x x - sen ⁡ ( x )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiramente, substituímos o valor de x para avaliar se há ou não indeterminação.

l i m x → 0 e x - e 2 x + x x - sen ⁡ ( x ) ⟹ l i m x → 0 e x - e 2 x + x l i m x → 0 x - sen ⁡ x ⟹ 1 - 1 + 0 0 - 0 ⟹ 0 0

Dado que temos uma indeterminação do tipo 0 / 0 , podemos partir para utilizar L’Hôpital.

Passo 2

Aplicando a regra de L’Hospital:

lim x → 0 ⁡ e x - e 2 x + x x - sen ⁡ ( x ) = lim x → 0 ⁡ [ e x - e 2 x + x ] ' [ x - sen ⁡ ( x ) ] '

Usando a regra da cadeia:

e x - e 2 x + x ' = e x - 2 e 2 x + 1

Para o denominador:

x - sen ⁡ x ' = 1 - cos ⁡ x

Então o nosso limite vai dar:

lim x → 0 ⁡ e x - e 2 x + x ' x - sen ⁡ x ' = l i m x → 0 e x - 2 e 2 x + 1 1 - cos ⁡ x ⟹ 1 - 2 + 1 1 - 1 ⟹ 0 0

Temos a presença da indeterminação novamente, então temos que aplicar L’Hôpital de novo.

Passo 3

Vamos ter então que:

l i m x → 0 e x - 2 e 2 x + 1 1 - cos ⁡ x = l i m x → 0 e x - 2 e 2 x + 1 ' 1 - cos ⁡ x '

Derivando o numerador:

e x - 2 e 2 x + 1 ' = e x - 4 e 2 x

E o denominador:

1 - cos ⁡ x ' = sen ⁡ x

Então vamos ter:

l i m x → 0 e x - 2 e 2 x + 1 ' 1 - cos ⁡ x ' = l i m x → 0 e x - 4 e 2 x sen ⁡ x

= 1 - 4 lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x = - 3 lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x

Passo 4

O detalhe é que

lim x → 0 - ⁡ sen ⁡ x = 0 -

lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x = 0 +

Então os limites laterais não batem, por causa do seno temos que:

- 3 lim x → 0 - ⁡ sen ⁡ x = + ∞

- 3 lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x = - ∞

Então o limite lá do enunciado não existe.

Resposta

O limite não existe.

lim x → 0 - ⁡ e x - e 2 x + x x - sen ⁡ ( x ) = + ∞

lim x → 0 + ⁡ e x - e 2 x + x x - sen ⁡ ( x ) = - ∞

Exercício Resolvido #5

Calcule o seguinte limite :

lim x → 0 ⁡ e x - sen ⁡ x - cos ⁡ 2 x sen 2 ⁡ x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Antes de mais nada, vamos substituir x = 0 no limite e ver no que dá:

e 0 - sen ⁡ 0 - cos ⁡ 0 sen 2 ⁡ 0 = 1 - 0 - 1 0 = 0 0

Caímos numa indeterminação 0 / 0 , então temos que dar um jeito nisso aí.

Passo 2

Com uma indeterminação dessas, o primeiro reflexo é tentar aplicar l’Hôpital, né? Então vamos tentar:

lim x → 0 ⁡ e x - sen ⁡ x - cos ⁡ 2 x sen 2 ⁡ x = lim x → 0 ⁡ e x - cos ⁡ x + 2 sen ⁡ 2 x 2 sen ⁡ x cos ⁡ x = 0 0

Caímos de novo numa indeterminação 0 / 0 , então vamos de l’Hôpital de novo!

Passo 3

Mas repara que no denominador apareceu o produto de um seno e um cosseno, então na hora de derivar vamos ter que usar a regra do produto e só vai complicar o limite.

Aqui a sacada é a seguinte:

2 sen ⁡ x cos ⁡ x = sen ⁡ 2 x

Essa é uma identidade trigonométrica bastante importante!

Assim o nosso limite vai ser:

lim x → 0 ⁡ e x - cos ⁡ x + 2 sen ⁡ 2 x sen ⁡ 2 x

Passo 4

Agora sim vamos aplicar a regra de l’Hôpital, aí vai ficar:

lim x → 0 ⁡ e x + sen ⁡ x + 4 cos ⁡ 2 x 2 cos ⁡ 2 x = 1 + 0 + 4 2 = 5 2

Pronto, aí está o valor do limite! :)

Resposta

5 2

Exercício Resolvido #6

PUC-RJ - Cálculo 1 - P2 2015.1 - 1 b

b Determine o valor de a de tal forma que

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ x 2 + x + 1 sen ⁡ x 2 + a x = 1 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Como todas as vezes, precisamos mostrar que há uma indeterminação:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ x 2 + x + 1 sen ⁡ x 2 + a x ⟹ lim ⁡ x → 0 ln ⁡ x 2 + x + 1 lim x → 0  sen ⁡ x 2 + a x ⟹ ln ⁡ 1 s e n 0 ⟹ 0 0

Passo 2

Agora podemos aplicar L’Hôpital sem dó:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ x 2 + x + 1 sen ⁡ x 2 + a x = lim x → 0 ⁡ [ ln ⁡ x 2 + x + 1 ] ' [ sen ⁡ x 2 + a x ] '

Para o numerador, usamos a regra da cadeia:

[ ln ⁡ x 2 + x + 1 ] ' = 1 x 2 + x + 1 ⋅ ( x 2 + x + 1 ) ' = 2 x + 1 x 2 + x + 1  

Para o denominador usamos a regra da cadeia também:

[ sen ⁡ x 2 + a x ] ' = cos ⁡ x 2 + a x x 2 + a x ' = 2 x + a cos ⁡ x 2 + a x

Substituindo os achados:

… = lim x → 0 ⁡ [ ln ⁡ x 2 + x + 1 ] ' [ sen ⁡ x 2 + a x ] ' = lim x → 0 ⁡ [ ln ⁡ x 2 + x + 1 ] ' ⋅ 1 [ sen ⁡ x 2 + a x ] ' = l i m x → 0 2 x + 1 ( x 2 + x + 1 ) ⋅ 1 2 x + a cos ⁡ x 2 + a x = l i m x → 0 2 x + 1 ( x 2 + x + 1 ) 2 x + a cos ⁡ x 2 + a x

Para esse limite temos que:

l i m x → 0 2 x + 1 ( x 2 + x + 1 ) 2 x + a cos ⁡ x 2 + a x = 1 1 ⋅ a ⋅ cos ⁡ 0 = 1 a

Dessa forma, pelo enunciado esse limite tem que ser igual a 1 / 2 , então:

1 a = 1 2 ∴ a = 2

significa “portanto” ;-)

Resposta

a = 2

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Ganhe 1 hora de acesso grátis
para continuar vendo esse e mais conteúdos.

Cadastre-se no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas