Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A - Capítulo 8.4 - Ex. 8

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8.   y = ln ⁡ x ,   3 ≤ x   ≤ 8

Passo 1

Nós devemos encontrar o comprimento da curva dada.

 Nós temos:

y = ln ⁡ x  

d y d x = 1 x

Passo 2

Agora prosseguimos da seguinte maneira:

1 + d x d y 2 = 1 + 1 x 2

= 1 + 1 x 2  

Passo 3

Agora, pela fórmula do comprimento da curva, temos:

s = ∫ 3 8 1 + 1 x 2   d x

= ∫ 3 8 x 2 + 1 x 2   d x

= ∫ 3 8 x 2 + 1 x   d x

Usando o método de substituição:

u = x 2 + 1

d u = x x 2 + 1

Substituindo na integral, temos:

∫ u 2 u 2 - 1 d u

Vamos somar escrever u 2 como u 2 + 1 - 1 para poder prosseguir com a resolução. (Infelizmente é o único jeito)

∫ u 2 - 1 u 2 - 1 + 1 u 2 - 1 d u

∫ 1 + 1 u 2 - 1   d u

= u + ∫ 1 u 2 - 1     d u

= u + ∫ 1 u - 1 u + 1 d u

Usando o método de frações parciais, teremos:

= u + ∫ 1 2 u - 1 - 1 2 u + 1 d u

= u + 1 2 ∫ 1 u - 1 d u - 1 2 ∫ 1 u + 1   d u

= u + 1 2 ln ⁡ | u - 1 | - 1 2 ln ⁡ u + 1 + c

Passo 4

Voltando com u = x 2 + 1

s   =     x 2 + 1 + 1 2 ln ⁡ | x 2 + 1 - 1 | - 1 2 ln ⁡ x 2 + 1 + 1 √ 3 √ 8

s =     x 2 + 1 + 1 2 ln ⁡ x 2 + 1 - 1 x 2 + 1 + 1 √ 3 √ 8

s = 3 + 1 2 ln ⁡ 2 4 - 2 - 1 2 ln ⁡ 1 3

s = 1 + 1 2 ln ⁡ 3 2  

Resposta

Portanto, o comprimento da curva é  1 + 1 2 ln ⁡ 3 2 .

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