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5 – 20 Encontre dy/dx diferenciando implicitamente

9. x 2 y + x y 2 = 3 x

Passo 1

Para derivar implicitamente vamos aplicar a deriada dos dois lados da equação:

d d x x 2 y + x y 2 = d d x ( 3 x )

d d x x 2 y + d d x x y 2 = 3

Vamos usar a regra do produto:

u ⋅ v ' = v ⋅ u ' + u ⋅ v '

Então aplicando a regra nas duas derivadas da equação vamos ter:

y ⋅ d d x x 2 + x 2 ⋅ d d x y + y 2 ⋅ d d x x + x ⋅ d d x y 2 = 3

y ⋅ 2 x + x 2 ⋅ y ' + y 2 ⋅ 1 + x ⋅ d d x y 2 = 3

x ⋅ d d x y 2 + y 2 + 2 x y + x 2 y ' = 3

Para derivarmos y 2 precisamos utulizar a regra da cadeia, ela diz que quando temos uma “função dentro da outra”:

F x = f g x

e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:

F ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Nesse caso a função de fora é o expoente ao quadrado e a função de dentro é y , então podemos escrever a equação como sendo:

x ⋅ 2 y ⋅ y ' + y 2 + 2 x y + x 2 y ' = 3

2 x y ⋅ y ' + y 2 + 2 x y + x 2 y ' = 3

Colocando y ' em evidência:

y ' 2 x y + x 2 + y 2 + 2 x y = 3

y ' 2 x y + x 2 = 3 - y 2 - 2 x y

y ' = 3 - y 2 - 2 x y 2 x y + x 2

Resposta

y ' = 3 - y 2 - 2 x y 2 x y + x 2

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