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∫ 2 x 3 + 9 x ( x 2 + 3 ) ( x 2 - 2 x + 3 ) d x

Passo 1

Vamos arranjar a equação de forma mais conveniente para resolver as frações parcias. Esse passo é feito manipulando as funções, fazendo que ela fique de forma mais agradável para gente, geralmente usamos as raízes para reescrever as equações.

∫ 2 x 3 + 9 x ( x 2 + 3 ) ( x 2 - 2 x + 3 ) d x

Passo 2

Agora vamos para frações parciais, temos que:

2 x 3 + 9 x ( x 2 + 3 ) ( x 2 - 2 x + 3 ) = A x + B ( x 2 + 3 ) + C x + D ( x 2 - 2 x + 3 )

Isolando 2 x 3 + 9 x , vamos achar

2 x 3 + 9 x = ( A x + B ) ( x 2 - 2 x + 3 ) + ( C x + D ) ( x 2 + 3 )

Resolvendo o sistema de equações acima, temos:

A = 0 ;                     B = - 3 2 ;                     C = 2 ;                         D = 3 2 ;

Agora substituindo os valores de A e B temos:

2 x 3 + 9 x ( x 2 + 3 ) ( x 2 - 2 x + 3 ) = - 3 2 ( x 2 + 3 ) + 2 x + 3 2 ( x 2 - 2 x + 3 )

Passo 3

Já resolvemos as frações parciais, agora só falta resolver a integral.

∫ 2 x 3 + 9 x ( x 2 + 3 ) ( x 2 - 2 x + 3 ) d x = ∫ - 3 2 ( x 2 + 3 ) d x + ∫ 2 x + 3 2 ( x 2 - 2 x + 3 ) d x

Resposta

                                                                                                          ∫ 2 x 3 + 9 x ( x 2 + 3 ) ( x 2 - 2 x + 3 ) d x = 7   t a n - 1 - 1   +   x 2 2 2 - 1 2   3 t a n - 1 ( x 3 )   +   l n ( 3   -   2   x   +   x 2 ) + c

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