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∫ 5 x - 2 d x x 2 - 4

Passo 1

Primeiro vemos que as raízes do denominador são 2 e -2, logo podemos reescrever a equação de forma mais fácil para resolver o problema.

∫ 5 x - 2 d x ( x - 2 ) ( x + 2 )

Para x diferente de 2 e -2.

Passo 2

Agora vamos para frações parciais, temos que:

5 x - 2 ( x - 2 ) ( x + 2 ) = A ( x - 2 ) + B ( x + 2 )

Isolando 5 x - 2 , vamos achar

5 x - 2 = A x + 2 + B ( x - 2 )

Vemos que agora os valores 2 e -2 fazem parte do domínio. Substituindo esses valores na equação acima vamos achar os valores de A e B.

A = 2 ;                     B = 3

Agora substituindo os valores de A e B, temos:

5 x - 2 ( x - 2 ) ( x + 2 ) = 2 ( x - 2 ) + 3 ( x + 2 )

Passo 3

Já resolvemos as frações parciais, agora só falta resolver a integral.

∫ 5 x - 2 d x ( x - 2 ) ( x + 2 ) = ∫ 2 d x ( x - 2 ) + ∫ 3 d x ( x + 2 )

Ficou fácil agora, basta resolver as integrais, que são bem simples.

∫ 5 x - 2 d x ( x - 2 ) ( x + 2 ) = 2 l n | x - 2 | - 3 l n | x + 2 |

Resposta

∫ 5 x - 2 d x x 2 - 4 = 2 l n | x - 2 | - 3 l n | x + 2 | + c

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