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Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi - Capítulo 12.9 - Ex. 3b

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b) ∫ cos 3 ⁡ x 1 + s e n x d x  

Passo 1

Vamos chamar nossa integral de I para facilitar nossa vida.

I = ∫ cos 3 ⁡ x ⋅ 1 + s e n x d x = ∫ 1 + s e n x ⋅ cos 3 ⁡ x d x

Passo 2

Utilizando o exercício 2, temos a ideia de fazer a seguinte substituição:

u = s e n ( x )

Derivando,

d u = cos ⁡ x d x

Bem, agora vamos encaixar tudo na nossa integral:

∫ 1 + s e n x ⋅ cos 3 ⁡ x d x

Como nosso d u = cos ⁡ x d x , vamos fazer ele aparecer:

∫ 1 + s e n x ⋅ cos 2 ⁡ x ⋅ cos ⁡ x d x

Só tem aquele cos 2 ⁡ x atrapalhando a gente, então vamos colocar ele em função de s e n x

s e n 2 x + cos 2 ⁡ ( x ) = 1

Logo,

cos 2 ⁡ x = 1 - s e n 2 x = 1 - u 2

Passo 3

Agora é só finalizar!

Nossa integral era:

I = ∫ 1 + s e n x ⋅ cos 2 ⁡ x ⋅ cos ⁡ x d x

Indo para variável u :

I = ∫ 1 + u ⋅ 1 - u 2 d u = ∫ 1 - u 2 + u 1 2 - u 5 2 d u

Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + c   quando   n   ≠ - 1

Logo,

I = u - u 2 + 1 2 + 1 + u 1 2 + 1 1 2 + 1 - u 5 2 + 1 5 2 + 1 + c

Agora vamos fazer essas contas:

I = u - u 3 3 + 2 3 ⋅ u 3 2 - 2 7 ⋅ u 7 2 + c

Voltando para nossa variável inicial:

I = s e n x - s e n 3 x 3 + 2 3 ⋅ s e n 3 x - 2 7 ⋅ s e n 7 x + c

Resposta

s e n x - s e n 3 x 3 + 2 3 ⋅ s e n 3 x - 2 7 ⋅ s e n 7 x + c

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