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Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi - Capítulo 12.8 - Ex. 1a

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desse livro

a) ∫ s e n 7 x cos ⁡ 2 x d x

Passo 1

Esse tipo de questão é bem clássico e temos que saber resolver! A estratégia é a seguinte:

Lá da trigonometria, temos:

s e n a ⋅ c o s b = 1 2 ⋅ s e n a + b + s e n a - b

Então podemos reescrever nossa função dessa forma,

s e n 7 x ⋅ c o s 2 x = 1 2 ⋅ s e n 7 x + 2 x + s e n 7 x - 2 x

Isto é,

s e n 7 x ⋅ c o s 2 x = 1 2 ⋅ s e n 9 x + s e n 5 x

Então agora nós temos essa integral para resolver,

I = 1 2 ⋅ ∫ s e n 9 x + s e n 5 x d x

E podemos separar essa soma assim,

I = 1 2 ⋅ ∫ s e n 9 x d x + 1 2 ⋅ ∫ s e n 5 x d x =

Vamos lá!

Passo 2

Para resolver essa integral, vamos lembrar que

∫ s e n x   d x = - cos ⁡ x + c

Logo,

I = 1 2 ⋅ ∫ s e n 9 x d x + 1 2 ⋅ ∫ s e n 5 x d x = 1 2 ⋅ - cos ⁡ 9 x 9 + 1 2 ⋅ - cos ⁡ 5 x 5 + c

Por fim, temos:

I = - cos ⁡ 9 x 18 - cos ⁡ 5 x 10 + c

Resposta

- cos ⁡ 9 x 18 - cos ⁡ 5 x 10 + c

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