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c) ∫ t g 3 2 x sec ⁡ 2 x d x  

Passo 1

I = ∫ t g 3 2 x ⋅ sec ⁡ 2 x d x

A estratégia nessa questão será fazer uma substituição de variável. Tá vendo que temos um produto t g 2 x ⋅ s e c ⁡ ( 2 x ) ali na nossa integral?!

Isso é bem parecido com a derivada de s e c ( 2 x ) . Então, nossa ideia vai ser fazer a seguinte substituição:

u = s e c 2 x       ( i )

Derivando,

d u = 2 ⋅ t g 2 x sec ⁡ 2 x d x

Esse 2 apareceu por causa da regra da cadeia 😉

Viu que quando derivamos apareceu o termo parecido com o que temos na nossa integral?!

Passo 2

Agora vamos arrumar a casa para encaixar as coisas!

Nossa integral era o seguinte:

I = ∫ t g 3 2 x ⋅ sec ⁡ 2 x d x = ∫ t g 2 2 x ⋅ t g 2 x sec ⁡ 2 x d x

Conseguimos fazer aparecer nosso d u ! Pra finalizar, precisamos expressar t g 2 2 x   em função de s e c ( x ) , mas sabemos o seguinte:

1 + t g 2 2 x = sec 2 ⁡ ( 2 x )

Usando i , temos:

1 + t g 2 ( x ) = u 2

Então nossa integral fica assim ó:

I = ∫ t g 2 2 x ⋅ t g 2 x sec ⁡ 2 x d x = ∫ u 2 - 1 ⋅ d u 2

Organizando as coisas:

I = 1 2 ⋅ ∫ u 2 d u - 1 2 ⋅ ∫ d u

Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + c   quando   n   ≠ - 1

Passo 3

Agora é só terminar!

I = 1 2 ⋅ ∫ u 2 d u - 1 2 ⋅ ∫ d u = 1 2 ⋅ u 3 3 - 1 2 ⋅ u + c = u 3 6 - u 2 + c

Atenção: Quando temos uma indefinida, não podemos esquecer da constante c .

Voltando para a variável s e c ( 2 x ) :

I = sec 3 ⁡ ( 2 x ) 6 - s e c ⁡ ( 2 x ) 2 + c

Resposta

sec 3 ⁡ ( 2 x ) 6 - s e c ⁡ ( 2 x ) 2 + c

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c) ∫ c o s e c 2 x d x = - c o t g ( x ) + c
h) ∫ sec 5 ⁡ ( 3 x ) t g ( 3 x ) d x
a) ∫ t g 5 x sec 2 ⁡ x d x