Enunciado

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Se f x ≤ k x - a para todo x ≠ a , onde k é uma constante prove que lim x → a ⁡ f x = 0

Passo 1

Pelos dados do enunciado podemos fazer a seguinte afirmação:

0 ≤ f x ≤ k x - a

Passo 2

Agora vamos tirar o módulo de f x em toda a expressão.

- k x - a ≤ f x ≤ k x - a

Passo 3

Agora apliquemos limite de x tendendo a a em toda a expressão e resolvemos os limites.

lim x → a ⁡ - k x - a ≤ lim x → a ⁡ f x ≤ lim x → a ⁡ k x - a

- k ( 0 ) ≤ lim x → a ⁡ f x ≤ k ( 0 )

0 ≤ lim x → a ⁡ f x ≤ 0

Resposta

Como lim x → a ⁡ - k x - a que é menor que lim x → a ⁡ f x e lim x → a ⁡ k x - a que é maior que lim x → a ⁡ f x convergem para 0 , então pelo teorema do “sanduíche”   lim x → a ⁡ f x é igual 0 .

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