Enunciado

Se A ( t ) = e t 2 e - t e 2 t 2 e t e - t - e 2 t - e t 3 e - t 2 e 2 t e B ( t ) = 2 e t e - t 3 e 2 t - e t 2 e - t e 2 t 3 e t - e - t - e 2 t , encontre

(a) A + 3 B

(b) A B

(c) d A / d t

(d) ∫ 0 1 A t d t

Passo 1

Para começar vamos fazer uma breve revisão de propriedades de matrizes:

Imagine duas matrizes A = a 11 a 12 a 21 a 22 e B = b 11 b 12 b 21 b 22

Se multiplicamos uma matriz por um número:

2 A = 2 a 11 a 12 a 21 a 22 = 2 a 11 2 a 12 2 a 21 2 a 22

É equivalente a multiplicar todos os coeficientes da matriz.

Outra propriedade é a soma de matrizes. Esta operação só pode ser feita se as duas matrizes possuem o mesmo número de linhas e colunas. E é dada por:

A + B = a 11 a 12 a 21 a 22 + b 11 b 12 b 21 b 22 = a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 21 + b 21 a 22 + b 22

Ou seja, a soma de matrizes gera uma nova matriz com o mesmo tamanho das matrizes que a geraram e cada termo é a soma dos termos equivalentes nas matrizes originárias.

Vamos rever agora a multiplicação de matrizes. A primeira coisa que precisamos saber é que a ordem dos fatores é importante, ou seja, A B ≠ B A . Além disso, para realizar esta operação é necessário que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda. Esta operação é descrita por:

A B = a 11 a 12 a 21 a 22 b 11 b 12 b 21 b 22 =

a 11 b 11 + a 12 b 21 a 11 b 12 + a 12 b 22 a 21 b 11 + a 22 b 21 a 21 b 12 + a 22 b 22 = C

Ou você pode pensar que o termo c i j da matriz C é:

c i j = ∑ k = 1 n a i k x b k j

Por último, vamos relembrar como é feita a derivada ou a integral de uma matriz. Quando se aplica uma destas funções é equivalente a derivar cada termo ou integrar cada termo da matriz. Ou seja:

d A d t = d d t a 11 d d t a 12 d d t a 21 d d t a 22

E

∫ A = ∫ a 11 ∫ a 12 ∫ a 21 ∫ a 22

Agora que relembramos estes pontos vamos aplicá-los para resolver os itens propostos. Vamos lá???

Passo 2

Nosso primeiro passo será multiplicar a matriz B por 3:

3 B =

3 x 2 e t e - t 3 e 2 t - e t 2 e - t e 2 t 3 e t - e - t - e 2 t =

6 e t 3 e - t 9 e 2 t - 3 e t 6 e - t 3 e 2 t 9 e t - 3 e - t - 3 e 2 t

Somando agora a matriz A :

A + 3 B =

e t 2 e - t e 2 t 2 e t e - t - e 2 t - e t 3 e - t 2 e 2 t + 6 e t 3 e - t 9 e 2 t - 3 e t 6 e - t 3 e 2 t 9 e t - 3 e - t - 3 e 2 t =

7 e t 5 e - t 10 e 2 t - e t 7 e - t 2 e 2 t 8 e t 0 - e 2 t

Vamos agora para o item (b). Ele nos pede para calcular a multiplicação das matrizes. Então:

A B =

e t 2 e - t e 2 t 2 e t e - t - e 2 t - e t 3 e - t 2 e 2 t x 2 e t e - t 3 e 2 t - e t 2 e - t e 2 t 3 e t - e - t - e 2 t =

2 e 2 t - 2 e 0 + 3 e 3 t e 0 + 4 e - 2 t - e t 3 e 3 t + 2 e t - e 4 t 4 e 2 t - e 0 - 3 e 3 t 2 e 0 + 2 e - 2 t + e t 6 e 3 t + e t + e 4 t - 2 e 2 t - 3 e 0 + 6 e 3 t - e 0 + 6 e - 2 t - 2 e t - 3 e 3 t + 3 e t - 2 e 4 t =

3 e 3 t + 2 e 2 t - 2 - e t + 4 e - 2 t + 1 - e 4 t + 3 e 3 t + 2 e t - 3 e 3 t + 4 e 2 t - 1 e t + 2 e - 2 t + 2 e 4 t + 6 e 3 t + e t 6 e 3 t - 2 e 2 t - 3 - 2 e t + 6 e - 2 t - 1 - 2 e 4 t - 3 e 3 t + 3 e t

Passo 3

Vamos agora ao item (c). Ele nos pede para aplicar a derivada na matriz A . Então:

d A d t =

d d t e t 2 e - t e 2 t 2 e t e - t - e 2 t - e t 3 e - t 2 e 2 t =

d d t e t 2 d d t e - t d d t e 2 t 2 d d t e t d d t e - t - d d t e 2 t - d d t e t 3 d d t e - t 2 d d t e 2 t =

A derivada de uma função f t = e c t é:

d d t f t = c e c t

Então ficamos com:

d A d t = e t - 2 e - t 2 e 2 t 2 e t - e - t - 2 e 2 t - e t - 3 e - t 4 e 2 t

Por fim, o item (d) no pede para determinar a integral da matriz A . Vamos a ela:

∫ 0 1 A t d t =

∫ 0 1 e t 2 e - t e 2 t 2 e t e - t - e 2 t - e t 3 e - t 2 e 2 t d t =

∫ 0 1 e t d t 2 ∫ 0 1 e - t d t ∫ 0 1 e 2 t d t 2 ∫ 0 1 e t d t ∫ 0 1 e - t d t - ∫ 0 1 e 2 t d t - ∫ 0 1 e t d t 3 ∫ 0 1 e - t d t 2 ∫ 0 1 e 2 t d t =

A integral de uma função f t = e c t é dada por:

∫ e c t d t = e c t c

Então, ficamos com:

e t 0 1 - 2 e - t 0 1 e 2 t 2 0 1 2 e t 0 1 - e - t 0 1 - e 2 t 2 0 1 - e t 0 1 - 3 e - t 0 1 2 e 2 t 2 0 1 =

e - 1 - 2 1 e - 1 e 2 - 1 2 2 ( e - 1 ) - 1 e - 1 - ( e 2 - 1 ) 2 - ( e - 1 ) - 3 1 e - 1 2 ( e 2 - 1 ) 2 =

∫ 0 1 A t d t = e - 1 2 1 - 1 e ( e - 1 ) ( e + 1 ) 2 2 ( e - 1 ) 1 - 1 e - ( e - 1 ) ( e + 1 ) 2 - ( e - 1 ) 3 1 - 1 e ( e - 1 ) ( e + 1 )

∫ 0 1 A t d t = e - 1 2 e - 1 e ( e - 1 ) ( e + 1 ) 2 2 ( e - 1 ) e - 1 e - ( e - 1 ) ( e + 1 ) 2 - ( e - 1 ) 3 e - 1 e ( e - 1 ) ( e + 1 )

∫ 0 1 A t d t = ( e - 1 ) 1 2 e ( e + 1 ) 2 2 1 e - ( e + 1 ) 2 - 1 3 e ( e + 1 )

Exercícios de Livros Relacionados

O semicírculo com diâmetro P Q está sobre um triangulo isósceles P Q R para formar uma região com um formato de sorvete, conforme mostra a figura. Se A ( θ ) for a área do semicírc...
46. Determine as forças no elemento G C da treliça e indique que se ele está sob tração ou compressão.
Calcule o centroide da área a seguir em termos das variáveis dos raios:
Considere o trilho de uma estrada de ferro reta e horizontal com um vagão ferroviário de 50000kg se deslocando ao longo da linha férrea a uma velocidade constante de 15m/s. Determi...
Uma correia feita de material isolante, com 50   c m de largura, se move a uma velocidade de 30   m / s . A carga que a correia transporta até um aparelho de laboratório correspond...
Se A for uma matriz m × n e se o sistema linear A x = b for consistente com qualquer vetor b em R m , o que pode ser dito sobre a imagem de T A : R n → R m ?
(Requer cálculo) Seja V o espaço vetorial das funções reais com derivadas continuas de todas as ordens no intervalo   - ∞ ,   ∞ e W = F ( - ∞ ,   ∞ ) o espaço vetorial de todas as ...
Calcule a integral. ∫ z 3 e z   d z
Seja E uma matriz elementar 2 × 2 fixada. Decida se a fórmula T A = E A define um operador linear injetor de M 2 × 2 . Explique seu raciocínio.
Seja a um vetor em R 3 fixado. Decida se a fórmula T v = a × v define um operador linear injetor de R 3 . Explique seu raciocínio.
Em cada parte, determine se a multiplicação por A é uma transformação linear injetora. A = 1 - 2 2 - 4 - 3 6 A = 1 3 5 7 2 - 1 2 4 - 1 3 0 0 A = 4 - 2 1 5 5 3
Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →