Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3 - Capítulo 7.3 - Ex. 4

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4 ) Seja Ω o interior do conjunto hachurado.

Seja   γ   :   [   0 ,   1   ]   →   R 2   uma curva de classe C1 por partes com imagemcontida em Ω e tal que γ   ( 0 )   =   ( 1 ,   1 )   e   γ   ( 1 )   =   ( 2 ,   2 ) . Calcule

∫ γ - y x 2 + y 2 d x + x x 2 + y 2 d y

Passo 1

Estamos no capítulo de campos conservativos. Logo se conseguirmos provar que nossa função F admite uma Função Potencial dessa forma

F = ∇ ϕ

Logo nossa integral de linha fica

∫ A B F ⋅ d r =   ∫ A B ∇ ϕ ⋅ d r =     ϕ B - ϕ A

Quando F admite uma energia potencial, significa que F é independente de caminho logo podemos aplicar a Energia potencial final menos a inicial. Um dos métodos de provar a independência de caminho é

∇ × F = 0

Passo 2

Essa Função Já foi calculada varias vezes nos exercícios anteriores. Ela é conservativa e admite Função Potencial

F = ∇ ϕ

Onde

ϕ =   - a r c t g   x y  

Como é virtualmente impossível pensar num caminho para atravessar nosso domínio. Vamos usar a preposição

∫ A B F ⋅ d r =   ∫ A B ∇ ϕ ⋅ d r =     ϕ B - ϕ A

Onde Nossos pontos

B =   ( 2 ,   2 )

A = 1,1

Assim nossa função fica

ϕ 2,2 - ϕ 1,1

=   - a r c t g   2 2 +   a r c t g   1 1

= 0

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ γ - y x 2 + y 2 d x + x x 2 + y 2 d y = 0

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